冪零イデアル

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数学、より正確には環論において、環のイデアル I が冪零イデアル (nilpotent ideal) であるとは、ある自然数 k が存在して Ik = 0 ということである [1]。Ik は I の k 個の元の積のすべてからなる集合で生成される加法部分群を意味する [1] 。ゆえに、I が冪零であることとある自然数 k が存在して I の任意の k 個の元の積が 0 であることは同値である。

環の多くのクラスの中で、冪零イデアルの概念は冪零元イデアル（English版）の概念よりもはるかに強い。しかしながら、2つの概念が一致する例が存在する — これはレヴィツキの定理（English版）によって例証される[2][3]。冪零イデアルの概念は、可換環の場合にも面白いが、非可換環の場合に非常に面白い。

例

  • 環 Z/pnZ のイデアル piZ/pnZ (i > 0) はすべて冪零である
  • 2次の全行列環 M2(R) のイデアル N = [math]\begin{bmatrix}0 & R\\ 0 & 0\end{bmatrix}[/math] は冪零である

冪零元イデアルとの関係

冪零元イデアルの概念は冪零イデアルの概念と深いつながりをもち、環のあるクラスにおいて、2つの概念は一致する。イデアルが冪零であれば、もちろん冪零元イデアルであるが、冪零元イデアルは2つ以上の理由で冪零とは限らない。1つには、冪零元イデアルのいろいろな元を零化するのに要求される指数の大域的な上界が存在する必要はないことであり、2つには、各元が冪零であることは相異なる元の積が消えることを強制しない[1]。

右アルティン環において、任意の冪零元イデアルは冪零である[4]。これは次のことを観察することによって証明される。任意の冪零元イデアルは環のジャコブソン根基に含まれ、（アルティン性の仮定より）ジャコブソン根基は冪零イデアルであるから、結果が従う。実は、これは右ネーター環に一般化することができる。この結果はレヴィツキの定理（English版）として知られている[3]。

関連項目

脚注

  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 Isaacs, p. 194.
  2. ↑ Isaacs, Theorem 14.38, p. 210
  3. ↑ 3.0 3.1 Herstein, Theorem 1.4.5, p. 37.
  4. ↑ Isaacs, Corollary 14.3, p. 195

参考文献

  • I.N. Herstein (1968). Noncommutative rings, 1st edition, The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-015-X. 
  • I. Martin Isaacs (1993). Algebra, a graduate course, 1st edition, Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-19002-2. 


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