再生性
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確率分布の族における再生性（さいせいせい、英: reproductive property）とは、同じ分布族に含まれる確率分布を持つ2つの独立な確率変数に対して、その和の確率分布もまた同じ族に含まれる性質のことを言う。
定義
分布族[math]\mathbb{F}[/math]を考える。
任意の確率分布[math]F_1, F_2 \in \mathbb{F}[/math]に対して、Fiに従う互いに独立な確率変数をXiとおく ([math]i=1,2[/math]) 。これを[math]X_i \sim F_i[/math]と書く（以下同様）。
このとき、[math]X_1 + X_2[/math]の確率分布Fが[math]F \in \mathbb{F}[/math]を満たすならば、分布族[math]\mathbb{F}[/math]は再生性を持つという。
ある分布族が再生性を持つということは、その分布族が畳み込み演算について閉じていることを意味する。
再生性を持つ分布族
以下で用いられる2つの確率変数X1、X2は互いに独立であると仮定する。
- 正規分布
- [math]X_i \sim \mbox{N}(\mu_i, \ \sigma_i^2) \ (i = 1, 2) \longrightarrow X_1 + X_2 \sim \mbox{N}(\mu_1 + \mu_2, \ \sigma_1^2 + \sigma_2^2)[/math]
- コーシー分布
- コーシー分布に従う2つの確率変数の和は、再びコーシー分布に従う。
- ガンマ分布
- [math]X_i \sim \mbox{Gamma}(k_i, \theta) \ (i = 1, 2) \longrightarrow X_1 + X_2 \sim \mbox{Gamma}(k_1 + k_2, \ \theta)[/math]
- 尺度母数θが異なる場合は当てはまらない。
- 特に[math]k_1, k_2[/math]が整数である場合はアーラン分布を表し、このことからアーラン分布も再生性を持つことが分かる。同様に、[math]k_1, k_2[/math]が半整数である場合はカイ二乗分布に相当し、同様に再生性を持つ。
- 二項分布
- [math]X_i \sim \mbox{B}(n_i, p) \ (i = 1, 2) \longrightarrow X_1 + X_2 \sim \mbox{B}(n_1 + n_2, \ p)[/math]
- 確率pが異なる場合は当てはまらない。
- [math]X_i \thicksim \mbox{NB}(\alpha_i ,p) (i=1,2) \longrightarrow X_1+X_2 \thicksim \mbox{NB}(\alpha_1+\alpha_2 ,p)[/math]
- 確率pが異なる場合は当てはまらない。
- [math]X_1 \sim \chi^2_n,X_2 \sim \chi^2_m\ (n,m \in\mathbb{N}) \ \longrightarrow X_1 + X_2 \sim \chi^2_{n+m}[/math]