円錐台
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円錐台（えんすいだい、英: circular truncated cone）は、円を底面とした錐台である。つまり、円錐を底面に平行な平面で切り、小円錐の部分を除いた立体図形である。
プリンの形は一般的には円錐台である。受験数学、特に日本の中学入試でよく出題される図形である。
Contents
体積
初等的な導出
錐体の体積公式を知っているが積分計算は知らない場合（日本の多くの小中学生はそうである）、体積を求めるには、円錐から小円錐を取り除いたと考えればよい。円錐台の上底の半径を rテンプレート:Msub, 下底の半径を rテンプレート:Msub, 高さを h とすると、もとの大きな円錐の高さ H は
- [math] \frac{r_1}{r_2} = \frac{H-h}{H} [/math]
を満たす。これを H について解くと、
- [math] H = \frac{r_2 h}{r_2 - r_1}[/math]
となる。円錐台の体積 V は
- [math] V = \frac{1}{3} \pi r_2^2 H - \frac{1}{3} \pi r_1^2 (H-h)[/math]
であるから、先ほどの H を代入して整理すると、
- [math] V = \frac{\pi h}{3}(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2) [/math]
となる。これは、上底の面積を Sテンプレート:Msub, 下底の面積を Sテンプレート:Msub とすると
- [math] V = \frac{h}{3}\Bigl(S_1 + \sqrt{S_1S_2} + S_2\Bigr) [/math]
とも表せる。
積分
体積を求めるには、底面となる円の面積を積分してもよい。
- [math]V = \int_{0}^{h} \pi \left( \frac{r_1-r_2}{h} x + r_2\right)^2 \, dx = \frac{\pi h}{3}(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2).[/math]
または、台形を回転させた回転体と見ることもできる。回転軸から台形の重心までの距離が
- [math]\frac{r_1^2+r_1r_2+r_2^2}{3(r_1+r_2)}[/math]
であることに注意してパップス–ギュルダンの定理を用いると、
- [math]V = 2 \pi \frac{r_1^2+r_1r_2+r_2^2}{3(r_1+r_2)} \frac{h(r_1+r_2)}{2}= \frac{\pi h}{3}(r_1^2 + r_1 r_2 + r_2^2)[/math]
となる。