円分体

円分体 (えんぶんたい、英: cyclotomic field) は、有理数体に、1 の [math]m(\gt 2)[/math] 乗根 [math]\scriptstyle\zeta(\ne\pm 1)[/math] を添加した代数体である。円分体およびその部分体のことを円体ともいう。

以下において、特に断らない限り、[math]\zeta_n = e^{2\pi i/n}[/math] とする。

性質

• 3 以上の整数 m に対して、円分体 [math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)[/math] の拡大次数 [math]\scriptstyle [\mathbb{Q}(\zeta_m):\mathbb{Q}][/math] は、[math]\scriptstyle\varphi(m)[/math] である。但し、[math]\scriptstyle\varphi(n)[/math] はオイラー関数である。
• 任意の円分体は、ガロア拡大体であり、ガロア群は、アーベル群である。
• 3 以上の整数 m に対して、[math]\scriptstyle m = p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}[/math] ([math]\scriptstyle p_1,\ldots,\ p_r[/math] は、相異なる素数、[math]\scriptstyle e_1,\ldots,e_r\ge 1)[/math] と素因数分解すると、

[math]\mathbb{Q}(\zeta_m)[/math] は、[math]\mathbb{Q}(\zeta_{p_1^{e_1}}),\ldots,\ \mathbb{Q}(\zeta_{p_r^{e_r}})[/math] の合成体であり、

[math]\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_m)/\mathbb{Q})\cong (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^{\times}\cong (\mathbb{Z}/p_1^{e_1}\mathbb{Z})^{\times}\times\cdots\times (\mathbb{Z}/p_r^{e_r}\mathbb{Z})^{\times}[/math]

が成立する。また、円分体 [math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)[/math] で分岐する有理素数は、[math]\scriptstyle p_1,\ldots,\ p_r[/math] に限る。

• [math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)\cap\mathbb{R} = \mathbb{Q}(\zeta_m + 1/\zeta_m)[/math] である。この[math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m + 1/\zeta_m)[/math] を、最大実部分体または実円分体という。
• 一意分解整域である円分体 [math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)[/math] [math]\scriptstyle(m\not\equiv 2[/math] (mod 4))は、m = 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 だけである。

• 特に、23 以上の素数 p に対して、円分体 [math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_p)[/math] は一意分解整域ではない。

• 類数が 2 である円分体 [math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)[/math] [math]\scriptstyle(m\not\equiv 2[/math] (mod 4)) は、m = 39, 56 だけである。
• 円分体 [math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)[/math] に含まれる代数的整数の集合は、[math]\scriptstyle\mathbb{Z}[\zeta_m][/math] である。

円分体の判別式

m を 3 以上の整数とし、円分体 [math]\scriptstyle K = \mathbb{Q}(\zeta_m)[/math] とする。

(1) m が素数のとき

K の判別式は、[math](-1)^{(m-1)/2}m^{m-2}[/math] である。

(2) [math]m = p^h[/math] (p は素数、h は 2 以上の整数)のとき

K の判別式は、[math]\scriptstyle\varepsilon p^{p^{h-1}(h(p-1)-1)}[/math] である。但し、

[math]\varepsilon = \begin{cases}-1 & (p=h=2,\mbox{ or }p\equiv 3 \pmod 4), \\ +1 & (p = 2, \, h\ge 3,\mbox{ or }p\equiv 1 \pmod 4). \end{cases}[/math]

(3) [math]\scriptstyle m = p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}[/math] ([math]\scriptstyle r\ge 2,\ p_1,\ldots,\ p_r[/math] は相異なる素数、[math]\scriptstyle e_1,\ldots,e_r\ge 1)[/math] のとき

[math]D_i[/math] を、円分体 [math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_{p_i^{e_i}})[/math] の判別式としたとき、 K の判別式は、

[math]\prod_{i=1}^r D_i^{\varphi(m)/\varphi(p_i^{e_i})}[/math]

である。

アーベル拡大体の埋め込み

"「クロネッカー・ウェーバーの定理」"

クロネッカー＝ウェーバーの定理 (Kronecker-Weber's theorem)

K を有理数体上のアーベル拡大体としたとき、ある整数 [math]\scriptstyle m\ge 3[/math] が存在して、

[math]K\sub\mathbb{Q}(\zeta_m)[/math] 。

例えば、二次体はアーベル拡大体であるので、クロネッカー＝ウェーバーの定理より、ある円分体の部分体になる。

クロネッカー＝ウェーバーの定理は、基礎体が有理数体であるときを考えているが、基礎体を虚二次体にしたときも、同様なことが成立するかを問うたのが、クロネッカーの青春の夢である。

円分体と初等整数論

フェルマーの最終定理

素数 p に対して、

[math]x^p + y^p = z^p[/math]

の右辺を、[math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_p)[/math] 上で分解すると、

[math](x + y)(x + \zeta_p y)\cdots (x + \zeta_p^{p-1} y) = z^p[/math]

となる。 ラメ (G. Lamé)、コーシー (A. Cauchy)らは、上記右辺を考察し、フェルマーの最終定理が成立することを証明したと発表した。しかし、クンマー (E. E. Kummer)は、彼らの証明は、右辺の分解が一意的であることが前提になっており、[math]p=23[/math] のとき、それが成立しないことを示した。 そのため、[math]p=23[/math] (円分体の性質にある様に、23 以上の全ての素数) の場合、別の方法をとる必要がある。

クンマーは、素元の分解が一意でなくとも、ある性質をもつ素数である場合、彼らの証明のアイデアを生かしながら、フェルマーの最終定理が成立することを証明した。

クンマーにより考察された素数は、以下の性質を持ち、正則素数と呼ばれる。

• 素数 p は、円分体 [math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_p)[/math] の類数を割り切らない。

正則素数に対しては、以下の補題が成立し、クンマーは、この補題を用いて、ベキが正則素数の場合のフェルマーの最終定理を証明した。

クンマーの補題

素数 p が正則素数であれば、円分体 [math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_p)[/math] の単数 ε を、[math]\scriptstyle\varepsilon\equiv a\ (\operatorname{mod}\ (1-\zeta_p)^p)[/math] となる有理整数 a が存在するようにとると、 [math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_p)[/math] の単数 [math]\scriptstyle\varepsilon_0[/math] が存在して、[math]\scriptstyle\varepsilon = \varepsilon_0^p[/math] と表される。

正則素数についての詳細は、正則素数 を、フェルマーの最終定理については、フェルマーの最終定理を参照のこと。

平方剰余の相互法則

ガウス (C. F. Gauss)は、今日、ガウス和と呼ばれる1のベキ根の指数和を考察することにより、平方剰余の相互法則、第1補充法則、第2補充法則を示した。さらに、[math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_3),\ \scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_4)[/math] 上のガウス和を考察することで、3次、4次剰余の相互法則を得ることができる。クンマーは、円分体に対する深い考察により、高次のベキの剰余に関する相互法則を与えた。 高次ベキの剰余の相互法則は、その後、フルトヴェングラー (P. Furtwängler)により全ての素数に対して与えられ、さらに、類体論の結果を用いて、高木、アルティン (E. Artin)、ハッセ (H. Hasse)らにより、より一般の形での相互法則が得られた。

円分体の類数

円分体の類数の性質

以下において、p を奇素数とする。

円分体 [math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)[/math] の類数を [math]h(m)[/math]、最大実部分体 [math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m+1/\zeta_m)[/math] の類数を [math]h_2(m)[/math] とすると、 [math]h(m) = h_1(m)h_2(m)[/math] ([math]h_1(m)[/math] は有理整数)と表すことができる。 このとき、[math]h_1(m)[/math] を第1因子または相対類数、[math]h_2(m)[/math] を第2因子または実類数という。

第1因子については、以下の様な性質がある。

• 素数 p に対して、p が [math]h(p)[/math] を割り切る必要十分条件は、p が第1因子を割り切ることである。

つまり、第1因子が p で割り切れないならば、p は正則素数である。

この性質により、第1因子はフェルマーの最終定理との関連で多くの研究がなされている。

• 素数 p に対して、p が第1因子を割り切る必要十分条件は、[math]p^2[/math] が、[math]\scriptstyle\sum_{j=1}^{p-1}j^{2k}[/math] を割り切る様な整数 k [math]\scriptstyle (1\le k\le (p-3)/2)[/math] が存在することである。
• [math]h_1(p)[/math] が奇数であるならば、[math]h_2(p)[/math] は奇数である。

クンマーは、第1因子の増大度に対して、[math]\scriptstyle\lim_{p\to\infty}h_1(p)/\gamma(p) = 1[/math] と予想した。 但し、[math]\scriptstyle\gamma(p) = p^{(p+3)/4}/(2^{(p-3)/2}\pi^{(p-1)/2})[/math] 。

この予想が成立するかは不明であるが、例えば、以下のことが知られている。

[math]\lim_{p\to\infty}\frac{\log(h_1(p)/\gamma(p))}{\log p} = 0[/math] 。

第2因子に対しては、以下の様な性質がある。第1因子よりも取り扱いが難しいため、第2因子の性質はあまり分かっていない。

• q を素数とし、[math]n\gt 1[/math] とする。[math]p = (2qm)^2+1[/math] が素数であるならば、[math]h_2(p)\gt 2[/math] である。

ヴァンディヴァー (H. S. Vandiver)は、p は [math]h_2(p)[/math] を割り切らないと予想した(ヴァンディヴァー予想)。現在でも、この予想が正しいかは不明である。

円分体の類数公式

円分体の類数を求めるには、[math]h(m)=h_1(m)h_2(m)[/math] より、第1因子と第2因子を求めればよい。

• 第1因子

• [math]h_1(m) = \frac{\delta}{(2m)^{\frac{1}{2}\varphi(m)-1}}\prod_{\chi\in S}\sum_{n=1}^{m-1}\chi(n)n[/math] 。

ここで、

[math]\delta = \begin{cases} 1 & (m\not\equiv 0 \pmod 4), \\ \frac{1}{2} & (m\equiv 0 \pmod 4), \end{cases}[/math]

S は、[math]\chi(-1) = -1[/math] を満たす、法 m に関する指標の集合とする。

特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。

• [math]h_1(p) = \frac{1}{(2p)^{(p-3)/2}}\left|\prod_{\chi\in S}\sum_{k=1}^{p-1}\chi(k)k\right|[/math] 。

m が素数のとき、以下の様な式がある。

• [math]h_1(p) = \frac{1}{(2p)^{(p-3)/2}}|G(\eta)G(\eta^2)\cdots G(\eta^{p-2})|[/math]

ここで、η は、1 の原始 [math]p-1[/math] 乗根とし、[math]\scriptstyle G(X) = \sum_{j=0}^{p-2}g_jX^j[/math] 。

但し、g を、法 p に対する原始根としたとき、[math]\scriptstyle j=0,1,\ldots,p-2[/math] に対して、[math]\scriptstyle 1\le g_j\le p-1[/math] は、[math]\scriptstyle g^j\equiv g_j\ (\operatorname{mod}\ p)[/math] を満たす正整数とする。

• p の倍数ではない整数 r に対して、[math]\scriptstyle 1\le R(r)\le p-1[/math] を、[math]\scriptstyle r\equiv R(r)\ (\operatorname{mod}\ p)[/math] を満たすようにとる。

また、[math]\scriptstyle 1\le r'\le p-1[/math] を、[math]\scriptstyle rr'\equiv 1\ (\operatorname{mod}\ p)[/math] を満たすようにとる。

[math]M_p = (R(rs'))_{r,s=1,2,\ldots,(p-1)/2}[/math] とおくと、

[math]h_1(p) = \frac{1}{p^{(p-3)/2}}|\det M_p|[/math] である。

• 第2因子

• [math]h_2(m) = \frac{2^{\frac{1}{2}\varphi(m)-1}}{R}\prod_{\chi\in T}\sum_{n=1}^{[\frac{m-1}{2}]}\chi(n)\log|1-\zeta_m^n|[/math] 。

ここで、R は、[math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_m)[/math] の単数基準、T は、[math]\chi(-1) = 1[/math] を満たす、法 m に関する指標のうち、単位指標ではない指標の集合とする。

特に、m が素数 p の場合、以下の形で表される。

• [math]h_2(p) = \frac{2^{(p-3)/2}}{R}\prod_{k=1}^{(p-3)/2}\left|\sum_{j=0}^{(p-3)/2}\eta^{2k^j}\log|1-\zeta_p^{g^j}|\right|[/math] 。

ここで、η は、1 の原始 [math]p-1[/math] 乗根、g は、法 p に対する原始根とする。

m が素数のとき、以下の様な式がある。

• [math]\scriptstyle k=2,3,\ldots,(p-1)/2[/math] に対して、[math]\delta_k = \sqrt{\scriptstyle\frac{(1-\zeta_p^k)(1-\zeta_p^{-k})}{(1-\zeta)(1-\zeta^{-1})}}[/math] とおく。

g を法 p に関する原始根とし、[math]\delta=\delta_g[/math] とおく。

また、σ を、[math]\scriptstyle\sigma(\zeta_p) = \zeta_p^g[/math] を満たす、[math]\scriptstyle\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_p)/\mathbb{Q})[/math] の生成元とする。

[math]M = (\log\sigma^{i+j}(\delta))_{i,j=0,1,\ldots,(p-5)/2}[/math]

とおくと、

[math]h_2(p) = \frac{2^{(p-3)/2}}{R}|\det M|[/math] 。

但し、R は、[math]\scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_p)[/math]の単数基準とする。

参考文献

• 高木, 貞治 『代数的整数論 第2版』 岩波書店、東京、1971年。
• ボレビッチ, Z. I.・シャハレビッチ, I. R. 『整数論 (下)』 佐々木義雄訳、吉岡書店、京都、1972年。
• リーベンボイム, P. 『フェルマーの最終定理 13講 第2版』 吾郷博顕訳、共立出版、東京、1989年。
• 倉田, 令二朗 『平方剰余の相互法則 -ガウスの全証明』 日本評論社、東京、1992年。
• 河田, 敬義 『数論 -古典数論から類体論へ-』 岩波書店、東京、1992年。
• ノイキルヒ, J. 『代数的整数論』 足立恒雄(監修)・梅垣敦紀訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、2003年。
• Masley, J. M. (1975). “Solution of the class number two problem for cyclotomic fields”. Invent. Math. 28: 243-244. 

関連項目

• 代数体
• 1の冪根
• 円分多項式
• ガロア理論