二重平方数

算術における四乗数（しじょうすう、英: biquadratic number; 複平方数^{[note 1]}）あるいは二重平方数^[1]とは、狭義には別の自然数の四乗（平方の平方）になっているような自然数のことである。

n⁴ = n³ × n = n × n³ = n² × n² = n × n × n × n.

最小の二重平方数は 1⁴ = 1 であり、二重平方数は無数にある。小さい数から順に列記すると

二重平方数 n⁴ は (n²)² と変形されるため全て平方数である。

約数を5つだけ持つ自然数は素数を4乗した二重平方数のみ。

例: 2⁴ の約数は 1(=2⁰), 2(=2¹), 4(=2²), 8(=2³), 16(=2⁴) の5つである。

一般に p⁴ は 1, p, p², p³, p⁴ の5つの約数を持つ（pは素数）。

二重平方数の逆数の総和は [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}[/math] である。（→ゼータ関数）

また1万、1億、1兆などの数は 10⁴ⁿ = (10ⁿ)⁴ と表されるので全て二重平方数である。

二重平方数の下2桁は 00, 01, 16, 21, 25, 36, 41, 56, 61, 76, 81, 96 の12通りの内いずれかである。したがって、5で割った余りは必ず0か1になる。

全ての自然数は高々19個の二重平方数の和で表すことができる。また十分大きな自然数は高々16個の二重平方数の和として表すことができる。（→ウェアリングの問題）

注

↑ 別に biquadratic という形容は「複二次」ということを強調するものではない。そもそも接頭辞 quadr- は 4 を意味するので、quadratic は「4つの」「四次の」という意味のはずだが、四辺形の面積としての square (ex quadrem) が「平方」を意味し、それに伴って二次方程式や二次形式などで quadratic が「二次の」という意味で多用されるなかで、「四次の」を意味するために冗長ながら「二回」を意味する接頭辞 bi- を附した biquadratic を使うことになったという事情による {{#invoke:Footnotes | harvard_citation }}。したがって、和訳語としては単に「四乗」を対応させるのが自然であると思われる。

Weisstein, Eric W. “Biquadratic Number”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。