二元数

数学における二元数（にげんすう、英: binarion）は、二次元の多元数、すなわち実数体上二次元の単位的結合多元環の元を総じて言う。各二元数 x は適当な基底 {1, u} の実数係数の線型結合 x = a + bu (a, b ∈ R) の形に表される。

多元環における積は双線型であるから、二つの二元数 x = a + bu, y = c + du に対して

[math]xy = (a+bu)(c+du) = ac + (ad+bc)u + bdu^2.[/math]

これが再び二元数となる（つまり乗法について閉じている）ためには、u の平方が再び {1, u} の線型結合に書けることが必要かつ十分である。

以下の三つは実二次元の単位的多元環である:

• 複素数体: 標準基底 {1, i}, iテンプレート:Exp = −1.
• 分解型複素数環: 標準基底 {1, j}, jテンプレート:Exp = +1.
• 二重数環: 標準基底 {1, ε}, εテンプレート:Exp = 0.

実は二元数は本質的にこの三種しかないことが示される。

二元数の分類定理

定理

同型を除いて、実数体上二次元の単位的多元環は通常の複素数体、分解型複素数環、二重数環のちょうど三種類しかない。

性質

• 複素数の全体は体を成す（同型を除いて）唯一の二元数代数である。
• 分解型複素数は実数とは異なる 1 の冪根を持ち、冪等元 1/2(1 ± j) および零因子 (1 + j)(1 − j) = 0 を持つ。ゆえに、その全体は多元体とはならないが、これらの性質は十分に意味のあるものである。例えば、特殊相対論のローレンツ変換を記述するために用いることができる。

Mathematics Magazine(2004年版)は二元数代数を「一般化された複素数」として扱う。四複素数の成す複比の概念は二元数代数に対しても拡張することができる。