主値
複素解析において、関数値として複数の複素数を取る多価関数を考えるとき、関数の主値（しゅち、英: principal value）とはその関数の分枝から取られる値のことである。多価関数の値を主値に限定することで、一価の関数となる。
必要性
複素対数関数 log z は、一つの複素数 z を以下を満たす複素数 w に移す関数である。
- [math]e^w = z\,\![/math]
例えば、[math]\log i[/math] の値を計算しようとすると、以下の方程式を満たす解として w を求めることになる。
- [math]e^w = i\,\![/math]
オイラーの公式から、[math]i\pi /2[/math] が一つの解であることは明らかであるが、解はそれだけでない。
関数の引数とした点 [math](0, i)[/math] の複素平面上での位置を考えると、解が複数あることが分かる。[math](1, 0)[/math] から反時計回りに [math]\pi /2[/math] ラジアンだけ回転した点が [math](0, i)[/math] になるが、ここからさらに [math]2\pi[/math] 回転すると、また [math](0, i)[/math] になる。したがって[math]i(\pi/2+2\pi)[/math] も [math]\log i[/math] の値であると考えることができ、また [math]2\pi[/math] だけでなく、その整数倍を加えたものはすべて、この関数の値と考えることができる。
しかし実数関数の場合と比較すると、これには違和感がある。つまり [math]\log i[/math] の値は一意に定まらない、ということである。log z は、k を任意の整数として
- [math]\log{z} = \ln{|z|} + i\left(\mathrm{arg}\ z+2\pi k\right)[/math]
と書ける。k の値は分岐点として知られ、多価関数が一価になる点を決めることになる。
ここで k = 0 に相当する分枝を主枝、この主枝において関数が取る値を主値と呼ぶ。
一般化
一般に f(z) が多価関数のとき、f の主値を
- [math]\mathrm{pv}\ f(z)[/math]
と書き表す。これは、f の定義域内の複素数 z について一価の関数となる。
主な関数の主値
複素数を取る初等関数は、定義域内で領域によっては多価となる。主値を取るのが簡単な形の関数に分解することで、その主値を決めることができる場合がある。
対数関数
対数関数の例は上述したが、その形は
- [math]\log{z} = \ln{|z|} + i\left(\mathrm{arg}\ z\right)[/math]
である。ここで [math]\mathrm{arg}\ z[/math] が多価である。この偏角の取りうる範囲を [math]-\pi \lt \mathrm{arg}\ z \le \pi[/math] に限定すれば、その偏角における関数の値を主値として取ることができる。このときの（範囲の限定された）偏角を、大文字を使って [math]\mathrm{Arg}\ z[/math] と書く。関数の定義に [math]\mathrm{arg}\ z[/math] の代わりに [math]\mathrm{Arg}\ z[/math] を使うことで、対数関数が一価になり、
- [math]\mathrm{pv}\ \log{z} = \mathrm{Log}\ z = \ln{|z|} + i\left(\mathrm{Arg}\ z\right).[/math]
と書くことができるようになる。
指数関数
[math]\alpha[/math] を複素数（[math] \alpha \in \mathbb{C}[/math]）とするときの指数 [math]z ^\alpha\,[/math] について考えるとき、一般には zα を eα log z として定義する。ここで Log でなく log を使うと、eα log z は多価関数となる。Log を使えば以下の形で zα の主値を取ることができる。
- [math]\mathrm{pv}\ z^\alpha = e^{\alpha \mathrm{Log}\ z}[/math]
平方根
複素数 [math]z=r e^{\phi i}\,[/math] の平方根の主値は以下のようになる。
- [math]\mathrm{pv} \sqrt{z} = \sqrt{r} \, e^{i \phi / 2}[/math]
ここで偏角は [math]-\pi \lt \phi \lt \pi \,[/math] の範囲である。
複素数の偏角
ラジアンで表される複素数の偏角の主値は、以下のどちらかで定義されることが多い。
- [math][0, 2\pi)[/math]
- [math](-\pi, \pi][/math]
逆正接関数をプロットすれば、これらの値を見ることができる。
関連項目
外部リンク
- Weisstein, Eric W. “Principal Value”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。