中点連結定理

中点連結定理。辺

MN

と

BC

の長さの比は

1:2

であり、2 つの辺は互いに平行である。

中点連結定理（ちゅうてんれんけつていり、英: midpoint theorem, midpoint connector theorem）とは、平面幾何の定理の一つ。

定理

三角形の 2 辺のそれぞれの中点を結んだ線分は、残りの 1 辺と平行であり、線分の長さはその辺の半分となる。

以下において、 $∠$ は角度を表し、 $∥$ は 2 つの線分が平行であることを表す。

三角形 $ABC$ について、辺 $AB$ の中点を $M$ , 辺 $AC$ の中点を $N$ とする。三角形 $ABC$ の頂点 $A$ と 2 つの中点 $M, N$ がなす三角形 $AMN$ は、元の三角形 $ABC$ の相似であることを示し、中点連結定理が成り立つことを証明する。

三角形 $ABC$ と $AMN$ が互いに相似であることは、 $∠A$ を共有し ( $∠CAB = ∠NAM$ )、対応する辺の比 $AB:AC$ と $AM:AN$ が互いに等しいことから示される。
点 $M$ および $N$ はそれぞれ辺 $AB$ と $AC$ の中点であるから、2 つの三角形の辺の比について特に、 $AB:AM = AC:AN = 2:1$ という関係が成り立つ。従って、相似な図形の性質から残る辺の比についても $BC:MN = 2:1$ という関係が成り立ち、中点連結 $MN$ の長さは辺 $BC$ の長さの半分であることが示される。
辺 $MN$ および $BC$ と線分 $AB$ によって作られる 2 つの角、 $∠AMN$ と $∠ABC$ について、三角形 $AMN$ と $ABC$ が互いに相似であることから、 $∠AMN = ∠ABC$ が成り立つ。これらの角は同位角であるから、同位角をなす 2 つ辺 $MN, BC$ は互いに平行であることが示せた。

次に平行四辺形の性質を利用した方法を示す。まず、線分 $MN$ の $M$ 側の延長線上に、 $MN = ND$ となるような点 $D$ をとる。

$MN = ND$ , $AN = NC$ であることより、四角形 $AMCD$ の対角線は各々の中点 $N$ で交わるので、平行四辺形である。
四角形 $AMCD$ は平行四辺形だから、 $AM = CD$ かつ $AB ∥ CD$ である。 $AB ∥ CD$ と $AM = MB$ より $MB ∥ CD$ , $MB = CD$ が成り立ち、2辺が等しく平行なので、四角形MBCDは平行四辺形をなす。
従って他方の辺の組についても互いに平行であり $MD ∥ BC$ より $MN ∥ BC$ が成り立つ。
また $MD = BC$ および $ND = MN$ , $MD = MN + ND$ より $2MN =BC$ が成り立つから、辺 $BC$ と $MN$ について中点連結定理が示された。

定理の逆は、そのまま結論と前提を入れ替えれば「三角形の 2 辺の上に端点を持つ線分が、残りの 1 辺と平行かつ長さがその辺の半分となるとき、線分の端点は各辺の中点になる。」で真である。

しかし、次のような定理も中点連結定理の逆と呼ばれる事がある。

三角形 $ABC$ において、辺 $AB$ の中点 $M$ から引いた底辺 $BC$ の平行線と、残りの辺 $AC$ との交点 $N$ は、辺 $AC$ を二等分する。