与えられた数より小さい素数の個数について
『与えられた数より小さい素数の個数について』（あたえられたすうよりちいさいそすうのこすうについて[1]、ドイツ語の原題: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, 英語での定訳: On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）は、19世紀のドイツの数学者であるベルンハルト・リーマンが1859年に発表した論文である。同年の学術誌『ベルリン学士院月報』(Monatsberichte der Königlich Preußischen Akadademie der Wissenschaften zu Berlin) 上に掲載された。解析学や幾何学の分野における業績が多かったリーマンが数論の分野で唯一発表した論文であり、わずか8ページしかなかったが、数々の画期的な内容を含み、後世に甚大な影響を及ぼした。特に解析的整数論においては、本論文は同分野の基本文献とされている。内容的には、この論文はあるべき大論文の要約版・研究速報と見なすことができたが、リーマン自身は7年後の1866年に39歳で没したため、本論文の詳細版が出版されることはついになかった。もし詳細版が出版されていれば、関連分野の研究は70年は短縮されただろうという指摘がある[2][3][4]。
本論文には6個の予想が含まれていたが、リーマン没後、うち5つまでは後の数学者達によって証明が与えられた。最後に残されたのがリーマン予想であり、これは数論における最も重要な未解決問題の一つとされている。
この論文の影響はあまりに大きかったため、例えば複素数の表記方法として普通は z = x + iy（特に z = 1/2 + iy）と書くところを、リーマンゼータ関数の非自明な零点を論じる場合に限っては、本論文にちなんで s = 1/2 + it と書く慣習がある[注 1]。また、「リーマンのゼータ関数」という名称も、元々オイラーが導入した関数であるにもかかわらず、本論文でリーマンが記号 ζ(s) を用いて記述したことから以後定着した。
Contents
導入された新定義
記載された証明又は証明のあらまし
- ζ(s) の関数等式についての二通りの証明
- ξ(t) の積表示[注 4]の証明のあらまし（1896年にアダマールが完全に証明）
- ξ(t) の零点のうち虚部が 0 と T の間であるものの近似的な個数についての証明のあらまし（1905年にフォン・マンゴルトが完全に証明）
- リーマンの素数公式の証明のあらまし（1895年にフォン・マンゴルトが完全に証明）
提起された予想
- リーマン予想：「ξ(t) の全ての零点は実数である」。α を ξ(t) の零点として、ζ(s) の負の偶数を除く零点は 1/2 + iα と書けるので、これは次のよく知られた形に言い換えられる。「ζ(s) の非自明な零点の実部は 1/2 に等しい」
導入された新たな技法等
リーマンはまた関数 J(x) を本質的にスティルチェス積分の尺度として用い、ζ(s) と素数分布との関連を論じた。そして log ζ(s) との比較を通じて、論文の主結果として J(x) を定式化した。リーマンは更に進んで、一部に困難が残ることを認めつつ、素数の数を与える関数 π(x) の近似公式の導出を試みた。素数分布をある程度正確に記述する素数定理は、後の1896年にド・ラ・ヴァレ・プーサンとアダマールによって独立に示された。もしリーマン予想が証明されれば、さらに精密な素数分布が導かれることが知られている。
日本語訳
- 杉浦光夫訳「与えられた限界以下の素数の個数について」（リーマン(2004)、155–162頁）
- 鈴木治郎訳「与えられた数より小さな素数の個数について」（エドワーズ(2012)、314–321頁[5]）
- 平林幹人訳「与えられた数より小さい素数の個数について」（鹿野(1991)、17–28頁）
注釈
- ↑ s = σ + it と書く慣習はエトムント・ランダウ (1903年) から始まる。
- ↑ s = 1/2 + it として
- [math]\xi(t)=\Gamma \left( \frac{s}{2}+1 \right) (s-1)\pi^{-s/2}\zeta(s)\,[/math]
- ↑ 原論文では f(x) と表されている。x ≥ 0 で定義され、J(0) = 0 かつ J(x) は素数の冪 pn 毎に 1/n ずつ飛び飛びの値をとる。
- ↑ ξ の積表示とは、次の等式のこと。
- [math]\xi(t)=\xi(0)\prod_{\alpha}\left( 1-\frac{t^2}{\alpha^2} \right)[/math]
出典
- ↑ 訳は右記文献の平林幹人による。（鹿野(1991)、17–28頁）
- ↑ 黒川 et al. 1999, p. 123
- ↑ 黒川 & 小山 2009, p. 31
- ↑ 黒川 2009, pp. 29–31
- ↑ リーマン; 鈴木治郎訳 (2012年1月27日). “与えられた数より小さな素数の個数について (PDF)” (日本語). 信州大学. . 2012閲覧.
参考文献
- リーマン 『リーマン論文集』 足立恒雄・杉浦光夫・長岡亮介編、朝倉書店、2004-02-20。ISBN 4-254-11460-5。
- Harold M. Edwards (2001). Riemann's Zeta Function. Dover Publications. ISBN 0-486-41740-9.
- ハロルド・M・エドワーズ 『明解 ゼータ関数とリーマン予想』 鈴木治郎訳、講談社、2012-06-25。ISBN 978-4-06-155799-4。
- 『リーマン予想』 鹿野健編、日本評論社、1991年9月。ISBN 4-535-78181-8。
- (6 1999) ゼータの世界. 日本評論社. ISBN 4-535-78261-X.
- (12 2009) リーマン予想のこれまでとこれから. 日本評論社. ISBN 4-535-78550-2.
- (11 2009) リーマン予想の150年, 数学，この大きな流れ. 岩波書店. ISBN 978-4-00-006792-8.