不等号
不等号（ふとうごう）は、実数などの大小を表すための数学記号である。より一般的には、順序集合（例: 整数、実数）の2つの要素の間の順序（大小ともいう）を表す。
順序集合の二つの元は、等しいか、片方が他方より大きいか、等しくなく大小関係がないか、のいずれかである。 2つが等しい場合は等号（=）を使い、2つに大小関係がある場合にのみ不等号が使える。等しくなく、大小関係がないあるいは問題としないときには否定等号（≠）を使う。否定等号は「不等」を表す記号ではあるが、大小関係がなくとも使える（例: 複素数）ので、大小を表す記号とは性質が異なり、不等号には含めないことがある。
不等号は等号と同様に中置し、左辺と右辺の間の順序を表す。 等号を含む等式と同様、不等号を含む式を不等式と呼ぶが、等号を含む条件式が方程式と呼ばれるのに対し、不等号を含む条件式も不等式と呼ばれる｡
Contents
基本的な不等号
単純な不等号
テンプレート:記号文字 「<」は左辺が右辺より小さいことを示す。「>」は左辺が右辺より大きいことを示す。
日本語の読みは文部科学省により「〜は〜より小さい」、「〜は〜より大きい」と読むように指導されているが、長い不等式を読み下す場合などには「小（しょう）なり」「大（だい）なり」と読まれる。
- 使用例
- [math]3 \gt 2\,[/math]（3は2より大きい／3大なり2）
等号付き不等号
テンプレート:記号文字 「≦」「≤」「⩽」（いずれでも意味は同じ）は左辺が右辺より小さいか等しい（a < b または a = b）ことを示す。「≧」「≥」「⩾」は左辺が右辺より大きいか等しいことを示す。
初等教育では <、> の「(等号を含まない)不等号」を先に導入するが、数学一般においては等号を含めた「≦」を先に定義する方が自然な場合が多く、「<」のほうが「a ≦ b かつ a ≠ b」として定義される。
日本の初等教育・中等教育では「≦」「≧」と不等号の下に等号を書く場合が多い。欧米では不等号の下に一本線を書いた「≤」「≥」や不等号の下に平行な線を書いた「⩽」「⩾」と書く場合が多い。
日本語の読みは文部科学省により「〜は〜以下」、「〜は〜以上」と指導されているが、「小なりイコール」および「大なりイコール」として参照されることも多い。プログラミングでは「LE (less than or equal to)」「GE (greater than or equal to)」と呼ぶこともある。
- 使用例
- [math]a^2 \geqq 0[/math]（a2 は0以上）
発展的な用法
「a < b」と「b > a」、「a ≦ b」と「b ≧ a」はそれぞれまったく同じ意味である。
3辺の不等式 a < b < c は、同じ形の等式と同様に「a < b かつ b < c」を意味し、推移律により a < c も同時に表している。a < b < c = d ≦ e < …… のように、4辺以上になったり「≤」や等号が混ざったりしても同様である。「>」「≥」「=」でも同様の表現ができる。ただし、「<」「≦」と「>」「≧」が混ざることは（推移律が成り立たず実用性が乏しいので）まれである。
3辺の不等式は変数の含まれる区間を表すのによく使われる。
- [math]a \lt x \lt b\,[/math] は [math]x \in (a, b)[/math] に等価
- [math]a \leqq x \lt b[/math] は [math]x \in [a, b)[/math] に等価
- [math]a \lt x \leqq b[/math] は [math]x \in (a, b][/math] に等価
- [math]a \leqq x \leqq b[/math] は [math]x \in [a, b][/math] に等価
派生記号
複号
テンプレート:記号文字 テンプレート:記号文字 複号同順を使った式で、「≶」「≷」「⪋」「⪌」「≦」「≧」「⪙」「⪚」もしくは「≶」「≷」「⋚」「⋛」「≤」「≥」「⋜」「⋝」が使われる。ただし「≤」「≥」「≦」「≧」は以下・以上と紛らわしいので、「複号同順」や「等号は同時にのみ成り立つ」、「不等号の向き同順」等の但し書きを添えることが多い。
1つの論述の中に複数の複号同順を表す不等号を同時に用い、複号同順を表す不等号の上部および下部のそれぞれ（「⋚」、「⋛」の場合は上部、中央、下部のそれぞれ）で文が成り立つ場合に用いる。また、「±」および「∓」と共にも用いられる。
1つの式だけで使われることはまれで、「〜ならば〜」「〜のとき〜」「〜とすると〜」などと複数の式にまたがり使われることが多い。
正負の複号と違い、1回使われるだけでは意味を成さない。「どちらかが成り立つ」（x = ±1 : x = 1 または x = −1）のような用法は、等号付き不等号でのみ使われる。
日本では、「⪋」「⪌」と中央をイコールの2本線で表記する場合が多いが、欧米では「⋚」「⋛」と1本線で表す場合が多い。
- 使用例
- [math]a \lessgtr b \lessgtr c[/math] （ (a < b < c) または (a > b > c) ）
- [math]a \lessgtr b[/math] ならば [math]x + a \lessgtr x + b[/math] （（a < b ならば x + a < x + b）であり（a > b ならば x + a > x + b） ）
- [math]a \lesseqgtr b[/math] ならば [math]x + a \lesseqgtr x + b[/math] （（a < b ならば x + a < x + b）であり（a = b ならば x + a = x + b) であり (a > b ならば x + a > x + b））
- [math]a^2 = 4\,[/math] で [math]a \gtrless 0[/math] ならば [math]a = \pm 2[/math] （ (a2 = 4 で a > 0 ならば a = 2) であり (a2 = 4 で a < 0 ならば a = −2) ）
非常に大きい/小さい
テンプレート:記号文字 比が極度に大きいことを示すために、通常の不等号ではなく、「≪」「≫」が使用される。原則として、双方非負（0以上）の場合にのみ使う。0に近い領域で比が大きいこともあるので、差は必ずしも大きくない。
その後に近似計算を行うための説明であることが多い。
「〜は〜より十分に小さい（大きい）」「〜は〜より非常に小さい（大きい）」などと読む。
ここでの「極度に大きい」に絶対普遍な基準はなく、文脈に応じて臨機応変に解釈される。
- 使用例
- [math]10^{-10} \ll 0.1 \lt 1 \lt 10 \ll 10^{10}[/math]
- [math]a \gg 1[/math] ならば [math]a + 1 \approx a[/math]
大きい/小さいかほぼ等しい
テンプレート:記号文字 「≲」「⪅」「⪍」（意味に大きな違いはない）は「小さいかほぼ等しい」、「≳」「⪆」「⪎」は「大きいかほぼ等しい」を意味する。近似計算で使われる。
- 使用例
- [math]a \approx 0[/math] で [math]b \gt 0\,[/math] ならば [math]a + b \gtrapprox 0[/math]
数学以外の用法
コンピュータ
コンピュータの分野では不等号が「LT (less than)」「GT (greater than)」と呼ばれることもある。不等式としては次のように使われる。
- ほとんどの言語で、不等号は < と > で表される。
- ほとんどの言語で、等号付き不等号は <= と >= で表される。
- プログラミング言語においては、不等式は左辺と右辺を引数にとる二値集合(真偽値の集合)への関数として定義されることが多い。
- Python のような例を除けば、 a < b < c のような構文はエラーとなるか (a < b) < c と解釈され、数学記号として期待される結果（a < b かつ b < c）を返さない。ただしLISPは、(< a b c) でそのような結果を返す。
- Pascal、SQLなどでは、<> が否定等号（≠）として使われる。
- PerlやRubyなどでは、<=> は、左辺が右辺より大きければ 1、小さければ −1、等しければ 0 を返す演算子である。
不等式以外に使われる不等号は、次のようなものである。
- 主にASCII環境で、< … > を山括弧（‹…› や〈…〉）の、<- -> や < > を矢印（← →）の代用に使う。不等号以外の用法は、これらから発展したものが多い。
- C言語、Java、Perlなど多くの言語で、<< と >> はビットシフト演算子である。
- C++では、<< と >> は（ビットシフト演算子でもあるが）ストリームへの入出力の演算子でもある。
- C++では、テンプレートに与える引数を、<arg1, arg2, ...> のような形で表記する。
- C言語、Perl、PHPなどでは、-> はメンバ演算子である。アロー演算子とも呼ばれる。
- UnixやMS-DOSではリダイレクトを表す。< は標準入力、> は標準出力、2> は標準エラー出力、>> は標準出力を追記、等の種類がある。
- Perlでは、$< はプロセスユーザID、$> はプロセス実行ユーザIDを表す。
- Perl、Ruby、PHPなどでは、連想配列のキーと値を=>で区切る。
- XMLやHTMLなどのSGMLでは、<要素名> と括弧のように使い、タグを表す。
- 多くのコマンドインタプリタで、> はコマンドプロンプトに使われる。
- 多くのチャットシステムで、発言の前に発言者のハンドルと > を付ける。「ハンドル >」の形のコマンドプロンプトから発展したものである。
- 電子メールや電子掲示板で、> が引用符として、引用各行の行頭につけられる。古くはタブを使っていたが、ネストするとタブが連続することになるので、表示桁数節約のために > を使うようになった。
- チャットや電子掲示板で、> や >> のあとにハンドル、人名、レス番等を書き、その人物やレスへの発言であることを表す。元はリダイレクト構文に由来し、1行発言の後に「Hello > john」のように使った。現代のスレッドフロート型掲示板では、レスの冒頭に「>>レス番[改行]」と書くか、文中に「>>レス番は〜」などと書く。
- 人名の後に＜（通常全角）を付け、その人物の発言であることを表す（通常は実際の発言の引用ではなく代弁やジョークとして）。漫画のふきだしに由来する。
文字実体参照
HTMLでは不等号はタグを表すため、ASCII文字であるにもかかわらず文字実体参照 < (<) と > (>) がある。
等号付き不等号にも文字実体参照 ≤ (≤) と ≥ (≥) がある。これらは U+2264 と U+2265 の、等号が一本線の等号付き不等号に変換される。
符号位置
| 記号 | Unicode | JIS X 0213 | 文字参照 | 名称 |
|---|---|---|---|---|
| < | U+003C |
1-1-67 |
<<< |
不等号(より小) LESS-THAN SIGN |
| > | U+003E |
1-1-68 |
>>> |
不等号(より大) GREATER-THAN SIGN |
| ≤ | U+2264 |
1-1-69 包摂 |
≤≤≤ |
より小さいか又は等しい LESS-THAN OR EQUAL TO |
| ≥ | U+2265 |
1-1-70 包摂 |
≥≥≥ |
より大きいか又は等しい GREATER-THAN OR EQUAL TO |
| ≦ | U+2266 |
1-1-69 |
≦≦ |
より小さいか又は等しい LESS-THAN OVER EQUAL TO |
| ≧ | U+2267 |
1-1-70 |
≧≧ |
より大きいか又は等しい GREATER-THAN OVER EQUAL TO |
| ≪ | U+226A |
1-2-67 |
≪≪ |
非常に小さい MUCH LESS-THAN |
| ≫ | U+226B |
1-2-68 |
≫≫ |
非常に大きい MUCH GREATER-THAN |
| ≲ | U+2272 |
- |
≲≲ |
LESS-THAN OR EQUIVALENT TO |
| ≳ | U+2273 |
- |
≳≳ |
GREATER-THAN OR EQUIVALENT TO |
| ≶ | U+2276 |
1-2-79 |
≶≶ |
小さいか大きい LESS-THAN OR GREATER-THAN |
| ≷ | U+2277 |
1-2-80 |
≷≷ |
大きいか小さい GREATER-THAN OR LESS-THAN |
| ⋚ | U+22DA |
1-7-86 |
⋚⋚ |
小さいか等しいか大きい LESS-THAN EQUAL TO OR GREATER-THAN |
| ⋛ | U+22DB |
1-7-87 |
⋛⋛ |
大きいか等しいか小さい GREATER-THAN EQUAL TO OR LESS-THAN |
| ⋜ | U+22DC |
- |
⋜⋜ |
EQUAL TO OR LESS-THAN |
| ⋝ | U+22DD |
- |
⋝⋝ |
EQUAL TO OR GREATER-THAN |
| ⩽ | U+2A7D |
- |
⩽⩽ |
LESS-THAN OR SLANTED EQUAL TO |
| ⩾ | U+2A7E |
- |
⩾⩾ |
GREATER-THAN OR SLANTED EQUAL TO |
| ⪅ | U+2A85 |
- |
⪅⪅ |
LESS-THAN OR APPROXIMATE |
| ⪆ | U+2A86 |
- |
⪆⪆ |
GREATER-THAN OR APPROXIMATE |
| ⪋ | U+2A8B |
1-7-86 包摂 |
⪋⪋ |
小さいか等しいか大きい LESS-THAN ABOVE DOUBLE-LINE EQUAL ABOVE GREATER-THAN |
| ⪌ | U+2A8C |
1-7-87 包摂 |
⪌⪌ |
大きいか等しいか小さい GREATER-THAN ABOVE DOUBLE-LINE EQUAL ABOVE LESS-THAN |
| ⪍ | U+2A8D |
- |
⪍⪍ |
LESS-THAN ABOVE SIMILAR OR EQUAL |
| ⪎ | U+2A8E |
- |
⪎⪎ |
GREATER-THAN ABOVE SIMILAR OR EQUAL |
| ⪙ | U+2A99 |
- |
⪙⪙ |
DOUBLE-LINE EQUAL TO OR LESS-THAN |
| ⪚ | U+2A9A |
- |
⪚⪚ |
DOUBLE-LINE EQUAL TO OR GREATER-THAN |
| ＜ | U+FF1C |
1-1-67 包摂 |
＜＜ |
不等号(より小) FULLWIDTH LESS-THAN SIGN |
| ＞ | U+FF1E |
1-1-68 包摂 |
＞＞ |
不等号(より大) FULLWIDTH GREATER-THAN SIGN |