上半平面
数学、とくにリーマン幾何学あるいは（局所）コンパクト群の調和解析において上半平面（じょうはんへいめん、英: upper half plane）は、虚部が正である複素数全体の成す集合をいう。上半平面は連結な開集合であり、それがリーマン球面に埋め込まれているとみなしたとき、その閉包を閉上半平面と呼ぶ。閉上半平面は上半平面に実軸と無限遠点を含めたものである。（開いた）上半平面を慣例的に H や H あるいは [math]\mathfrak{H}[/math] と記す（このとき、下半平面は H− や H− などと書かれ、対比的に上半平面を H+ などと記すこともある）。上半平面は、リー群の表現論やロバチェフスキーの双曲幾何学などの舞台として数論・表現論的、幾何学的に重要な役割を果たす。
- [math]\mathbb{H}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y\gt 0\}[/math]
または
- [math]\mathfrak{H}=\mathfrak{H}^+ = \mathfrak{H}_{+}=\{z\in\mathbb{C} \mid \Im\,z \gt 0 \} = \{x+yi\mid x,y\in \mathbb{R},\, y \gt 0\},[/math]
- [math]\bar{\mathfrak{H}}=\mathfrak{H}\cup \partial\mathfrak{H} = \mathfrak{H}^+ \cup \mathbb{R}\cup \{\infty\}.[/math]
- [math]\bar{\mathfrak{H}}\cup\mathfrak{H}_{-} = \mathfrak{H}_{+} \cup \mathfrak{H}_{-} \cup \mathbb{R} \cup \{\infty\} = \mbox{ Riemann sphere}.[/math]
双曲モデル
ポワンカレの上半平面モデルと呼ばれる双曲幾何のユークリッド空間内での実現がある。このモデルでは、計量が
- [math]\frac{d(z\bar{z})}{|\Im z|^2}[/math]
で与えられていて、実軸に近づくほどに空間が歪んでいる。双曲幾何のモデルとしての上半平面における「直線」（測地線）は、両端がそれぞれ実軸に直交する円周（直線も半径無限大であると見なして円に含める）である。上半平面を単位円板
- [math]D=\{z\in\mathbb{C}\mid z\bar{z} \lt 1\}[/math]
- [math]\mathfrak{H}\ni z \mapsto \frac{z-i}{z+i}\in D[/math]
- [math]D\ni w \mapsto \frac{1+w}{1-w}i \in \mathfrak{H}[/math]
が存在して、上半平面モデルは単位円板モデルと呼ばれる計量
- [math]\frac{d(z\bar{z})}{(1-|z|)^2}[/math]
をもつ実現と互いにうつりあう。これは二つのモデルがリーマン面として解析的同型であることを意味している。これらの閉包もやはり解析同相となるので、閉上半平面はコンパクトリーマン面になる。
SL(2) の表現論
上半平面にリー群 GL(2, R) が
- [math]\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}z:=\frac{az+b}{cz+d}\quad\text{ for }z\in\mathfrak{H}[/math]
によって（計量を保って）作用する。H は同じ作用で SL(2) の作用を受ける。このとき、z = i の固定部分群は
- [math]SO(2,\mathbb{R})=\left\{\begin{pmatrix}\cos\,\theta & -\sin\,\theta\\ \sin\,\theta & \cos\,\theta\end{pmatrix}\right\}[/math]
となるので、解析同相
- [math]\mathfrak{H}\simeq SL(2,\mathbb{R})/SO(2,\mathbb{R})[/math]
が成り立つ。さらに SL(2, Z) のような離散部分群（しばしば Γ で表される）の作用で H を割った空間（これも適当な仕方でリーマン面の構造を持つ）の上の微分形式は保型形式と呼ばれる数論的対象を定める。