一様空間

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一様空間（いちようくうかん、英: uniform space）は数学の一分野である位相空間論の概念で、一様連続性、一様収束性、完備性、一様被覆といった性質の定式化が可能になる条件を抽象する事で得られたものである。 一様空間は距離空間と位相空間の中間の強さを持つ概念であり、距離空間は自然に一様空間とみなせ、一様空間は自然に位相空間とみなせる。また擬距離空間や位相群なども一様空間とみなせる。

一様空間は距離空間と位相群を一般化する概念であるので、解析学における議論の多くの基盤を与えるものとなっている。

一様構造と位相構造の概念的な違いは、一様空間においては点の近さや相対的な近さといったようなある種の概念が定式化できるというようなことにある。つまり、「点 x の点 a への近さは、点 y の点 bへの近さよりも近い」といったような考察は一様空間において意味を成すのである。対する一般の位相空間では、部分集合 A, B が与えられれば、「点 x が集合 A にどれほどでも近い（x が A の閉包に属する）」とか「集合 A は集合 B よりも小さい近傍である」といったようなことは言える。しかし点の近さの概念や相対的な近さといったようなものは、位相構造のみでは記述することができない。


定義

一様構造を定義する方法はいくつか存在する。

近縁系による定義

一様空間の第一の定式化方法は近縁系という概念を用いるものである。近縁系は位相空間における近傍系の類似概念で、位相空間X において点x ∈X の近傍系の元U（すなわちU はx の近傍）は直観的にはx の「近く」の元からなるX の部分集合であるのに対し、一様空間X の近縁系の元V はX × X の部分集合で、 (x ,y) ∈ V となるときにx とy は「近い」とみなされる。

厳密には以下のように定義される。近縁系 Φ を備えた一様空間 (X, Φ) とは、集合 X と直積集合 X × X の部分集合からなる空でない族 Φ で以下の公理を満足するものとの組のことをいう。

  1. [math]\forall U\in \Phi\forall x\in X~:~(x,x)\in U[/math]。
  2. [math]\forall U\in \Phi, \forall V \subset X \times X~:~V \supset U \Rightarrow V\in \Phi[/math]
  3. [math]\forall U, V \in \Phi ~:~ U \cap V \in \Phi[/math]
  4. 任意の[math]U \in \Phi[/math]に対し適当な[math]V \in \Phi[/math]が存在し、[math](x,y),(y,z)\in V \Rightarrow (x,z)\in U[/math]が全ての[math]x,y,z\in X[/math]に対して成り立つ。
  5. [math]\forall U\in \Phi~:~U^{-1}\in \Phi[/math]。ここで[math]U^{-1}\underset{\mathrm{def}}{=}\{(y,x)\mid (x,y) \in U\}[/math]。

最後の条件を落とした場合、その空間は準一様 (quasiuniform) であるという。近縁系 Φ のことを X の一様構造 (uniform structure) とか一様系 (uniformity) と呼ぶこともある。また Φ の元を近縁（仏: entourages）という。

近縁 U に対して (x, y) ∈ U となることを「x と y は U 的に近い（U-近い）」という。同様に、X の部分集合 A のどの二点も U-近い（つまり、A × A が U に含まれる）とき、「A は U 的に小さい（U-小さい）」という。また、近縁 U が対称であるとは、(x, y) ∈ U ならば必ず (y, x) ∈ U であることをいう。

「U-近さ」の概念を用いる事で、以上で述べた5つの条件の直観的意味を述べる事ができる。

  • 公理 1 は各点は任意の近縁 U に関して自分自身と U-近いという事を保証している。
  • 公理 2 はU が近縁ならU を含む集合も近縁とみなすという事を保証している。
  • 公理 3 は「U-近い、かつ V-近い」という関係も同じ一様系における近さの関係となる事を保証している。
  • 公理 4 は各近縁 U に対して「大きさが半分」の近縁 V があることを保証している。
  • 公理 5 は「近さ」の概念が一様構造に関して本質的に対称的な性質であるということを保証している。

一様系 Φ の基本近縁系 (fundamental system of entourages) （基底とも）とは、Φ に属する近縁からなる集合 B であって、Φ の各近縁に対してそれに含まれる B の元がとれるようなものをいう。上述の公理 2 によって、基本近縁系 B が与えられれば一様系 Φ は（B の元を含むような X × X の部分集合全体のなす集合族として）一意的に定まる。任意の一様空間は、対称近縁からなる基本近縁系を持つ。

一様系 Φ が同じ集合上の別の一様系 Ψ よりも細かい (finer) とは、Φ ⊃ Ψ となることをいう。このとき Ψ は Φ よりも粗い (coarser) という。


一様被覆による定義

一様被覆族 Θ を備えた一様空間 (X,Θ) とは、集合 X とその被覆の集合のなかで、星型細分による順序に関してフィルターを成す、一様被覆と呼ばれる特定の種類の集合からなる族 Θ の組である。被覆 P が被覆 Q の星型細分 (star refinement) であるとは、各 A ∈ P に対して適当な U ∈ Q が存在して A ∩ B ≠ ∅ かつ B ∈ P ならば B ⊆ U とできることをいい、P <∗ Q で表す。公理としてまとめると以下のようになる。

  1. {X} は一様被覆である。
  2. P <∗ Q かつ P が一様被覆ならば Q もまた一様被覆である。
  3. P および Q が一様被覆ならば、適当な一様被覆 R が存在して P と Q の両方の星型細分となる。

点 x と一様被覆 P が与えられたとき、x を含む P の元すべての和を、x の「サイズ」が P であるような典型的な近傍として考えることができて、この直観的な測度はこの空間上の一様系に対して適用できる。

一様空間がその近縁系によって与えられているとき、被覆 P が一様であることを、各点 x ∈ X に対して A ∈ P で U[x] ⊆ A となるような近縁 U が存在することとして定めると、このような一様被覆の全体を考えることによって一様被覆の意味での一様空間が定まる。逆に、一様被覆によって一様空間が与えられているとき、P が一様被覆全体を亘るときの和 ⋃{A × A : A ∈ P} の拡大集合の全体は、近縁系の意味で定義される一様空間の近縁系を成す。さらに、これらの構成はそれぞれ互いの逆の操作になっている。

他の概念との関係

一様構造が誘導する位相

X を近縁系Φを持つ一様空間とし、X の元x と近縁U ∈ Φに対し、U [x ]を

[math]U[x]\underset{\mathrm{def}}{=} \{ y\in X \mid (x,y)\in U\}[/math]

により定義するとき、各点x ∈X に対し

[math]\{U[x]\}_{U\in \Phi}[/math]

をx の近傍系とみなす事でX を自然に位相空間とみなす事ができる。 このようにして定義された位相をX の一様構造から誘導された位相という。

また位相空間上の一様構造がその位相と両立するとは、一様構造の定める位相がもともとの位相と一致することをいう。

一般に、同じ位相空間 X 上のいくつか異なる一様構造が、X の与えられた位相と両立しうる。例えば[math]\mathbb{R}^n[/math]上の縁を含まない単位球体は[math]\mathbb{R}^n[/math]それ自身と位相同型であるが、これらに[math]\mathbb{R}^n[/math]上の距離から定まる一様構造（後述）を入れると、両者は一様同型ではない。

しかしX がコンパクトハウスドルフであれば、X の位相と両立する一様構造は存在し、しかもただ一つである[1]。

さらに言えば、一様空間 X において以下の条件は互いに同値になる。

一様化可能空間の位相は常に対称的である（つまり、一様化可能空間は R0-空間である）。

一様化可能性

位相空間が一様化可能 (uniformizable) であるとは、その位相と両立する一様構造が存在することを言う。 次の事実が成立する[2]：：

定理

位相空間X が一様化可能である必要十分条件は、X が（ハウスドルフとは限らない[3]）完全正則空間である事である。

擬距離による一様構造の特徴づけ

X を集合とし、dをX 上で定義された距離、あるいはより一般に擬距離とする時、ε>0に対し、

[math] U(\varepsilon) \underset{\mathrm{def}}{=} \{(x,y)\in X\times X : d(x,y)\lt \varepsilon \}[/math]

とすると、[math]\{U(\varepsilon)\}_{\varepsilon\gt 0}[/math]はX の基本近縁系になるので、（擬）距離空間は自然に一様空間とみなせる。ここで集合X 上の擬距離（pseudometric、文献によっては準距離と呼ぶ場合がある）dとは距離の公理の条件うち非退化性「d(x,y)=0⇒x=y」以外を全て満たす関数[math]\mathrm{d}~:~X\times X\to \mathbb{R}_{\ge 0}[/math]の事である。

逆に任意に選んだ一様空間は擬距離の族により以下のように特徴づける事ができる[4]事が知られている。

定理

一様空間X に対し、X 上の擬距離の族[math]\{d_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}[/math]が存在し、

[math]\{U(H,\varepsilon) \mid H[/math]はΛ の有限部分集合、[math]\varepsilon\gt 0\}[/math]

はX の基本近縁系になる。ここで[math]U(H,\varepsilon)[/math]は以下のように定義される集合である：

[math]U(H,\varepsilon)\underset{\mathrm{def}}{=} \{(x,y)\in X \times X \mid \forall \lambda\in H~:~d_{\lambda}(x,y)\lt \varepsilon\} [/math]

以上の事実は（半ノルム族によって擬距離が与えられる）函数解析学において特に有用である。

なお上の定理では一様空間X は擬距離の族によって特徴づけられているが、これが1つの擬距離のみによって特徴づけられる必要十分条件はX の基本近縁系B でB が可算であるものが存在する事である[4]。さらにX がT0空間でもあればX は1つの（擬距離でなく）距離のみで特徴づけられる。


位相群が誘導する一様構造

位相群G の単位元の近傍U に対し、 V U を

[math] V_U=\{(x,y)\in G\times G\mid xy^{-1}\in U\}[/math]

により定義し、 [math]\{V_U\}[/math] Uは単位元の近傍 を近縁系とする事でG は自然に一様空間とみなせる。（特に線型位相空間は一様空間とみなせる。）この一様構造を G 上の右一様系と呼ぶ。G の各元 a による右乗法 x → xa がこの一様構造に関して一様連続となる。

同様にして G 上の左一様系も定義される。G に右一様系と左一様系がともに定義されるとき、それらは必ずしも一致する必要はないが、しかしいずれが生成する位相も G のもともとの位相と一致する。

一様空間上で定義される諸概念

一様連続性

"「一様連続」"

位相空間の間の連続写像が位相的性質を保つように、一様空間の間の一様的性質を保つ写像は一様連続写像と呼ばれる。一様連続性は厳密には次のように定義される[5]：

定義

f を一様空間X から一様空間Y への写像とする時、f が一様連続 であるとは以下の性質を満たす事をいう：Y の任意の近縁V に対しX の適切な近縁U を取れば全てのx 、y ∈X に対し、

[math](x,y)\in U \Rightarrow (f(x),f(y))\in V[/math]。

特にf が全単射でf 、f -1 がいずれも一様連続であるとき、f は一様同型 であるという。


任意の一様連続写像は、一様性から誘導される位相に関して、必ず連続である[5]。 一様空間と一様連続写像の全体はひとつの圏を成す。一様空間の間の同型射は一様同型と呼ばれる。

一様収束性

"「一様収束」"

一様収束性の概念も一様空間上で定義できる：

定義

[math]\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}[/math]を集合X から一様空間Y への写像の族とし、さらにf をXからY への写像とする時、[math]\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}[/math]がf に一様収束するとは、任意の近縁U に対し適切な自然数n 0を取れば全てのn > n 0および全てのx ∈ X に対し、[math](f(x),f_{n}(x))\in U[/math]が成立する事を言う。

上では関数族[math]\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}[/math]の添え字が自然数である場合を考えたがより一般に有向点族の場合でも同様に定義できる。


付随するハウスドルフ一様空間

任意の一様空間 X には付随するハウスドルフ一様空間が存在しる。つまり、ハウスドルフ一様空間 Y と一様連続写像 i: X → Y で以下の普遍性

X から任意のハウスドルフ一様空間 Z への一様連続写像 f に対して、一様連続写像 g: Y → Z で f = g∘i を満たすものが一意的に存在する。

を満たすものが存在する。付随するハウスドルフ一様空間 Y は同型を除いて一意である。

一様空間 X について 「x [math]\sim[/math] y ⇔ 全ての近縁 U に対し、 (x, y) がUに属する」として定義される関係 [math]\sim[/math] は同値関係となる。この同値関係に関する商空間 X/[math]\sim[/math] が X に付随するハウスドルフ一様空間となる。

一様構造と完備性

完備距離空間の概念を一般化して、一様空間に対する完備性を定義することができる。この場合、コーシー列の代わりにコーシーフィルター（あるいはコーシーネット）を用いる。

一様空間 X 上のコーシーフィルター F とは、フィルター F であって、各近縁 U に対して A ∈ F で A×A ⊆ U となるものが取れるものをいう。つまり、フィルターがコーシー的であるのは、それが「どれほどでも小さい」集合を含むときである。定義から（一様構造の定める位相に関して）一点に集積するようなフィルターはいずれもコーシーフィルターとなることが従う。

逆に、一様空間が完備であるとは、その空間上の任意のコーシーフィルターが収束することをいう。任意のコンパクト空間は、その位相と両立する唯一の一様系に関して完備な一様空間である。

完備一様空間には、以下のような重要な性質がある。f: A → Y が一様空間 X の稠密部分空間 A から完備一様空間 Y への一様連続写像ならば、f は X 全体で定義された一様連続写像へ拡張することができる（ Y がハウスドルフならこの拡張は一意的）。

完備一様空間とすることができる位相空間で、その一様系が誘導する位相が元の位相に一致するとき、その位相空間は完備一様化可能空間であるという。

ハウスドルフ一様空間の完備化

距離空間の場合と同様に、ハウスドルフ一様空間 X に対して、その完備化を考えることができる。つまり、完備ハウスドルフ一様空間 Y と一様連続写像 i: X → Y で以下の普遍性

X から任意の完備ハウスドルフ一様空間 Z への一様連続写像 f に対して、一様連続写像 g: Y → Z で f = g∘i を満たすものが一意的に存在する。

を満たすものが存在する。完備化 Y は同型を除いて一意である。集合として、Y は X の閉集合系上のコーシー超フィルター全体の成す集合を取ればよい。そして、 i を X の各点 x を x を含む閉集合全体に移す写像とすれば良い。

完備化 Y 上の一様構造は以下のように定まる。各近縁 V に対して、集合 C(V) を「あるF×G の元 (A,B) で A×B が V に含まれる」を満たすコーシー超フィルターの対 (F, G) 全体の成す集合とする。このとき、Vを添字とする集合族 C(V) が基本近縁系となることが示せて、Y はこの基本近縁系から定まる一様構造を持つ。

故に、集合 i (X) は Y の稠密な部分集合となる。i は i (X) の上への同型であり、従って X をその完備化 Y の稠密部分集合と同一視することができる。

連続関数の空間上の一様構造

本節では位相空間X から一様空間Y への連続関数全体の集合[math]\mathcal{C}(X,Y)[/math]の上の一様構造を論ずる。以下簡単の為Y がハウスドルフ性を満たす一様空間のみを考えるが、ハウスドルフでない場合に対しても同様の議論が成り立つ。[math]\mathcal{C}(X,Y)[/math]には以下の3種類の一様構造が定義できる：


定義（連続関数の空間上の一様構造）[6]

X を位相空間とし、Y をハウスドルフな一様空間とする。さらに[math]\mathcal{S}[/math]をX の有限部分集合全体の集合｛S ⊂ X ｜S は有限集合｝ (resp. X のみからなる一元集合[math]\{X\}[/math]、X のコンパクト部分集合全体の集合[math]\{K\subset X \mid~K[/math]はコンパクト[math]\}[/math])とする。

さらに任意の[math]A\in\mathcal{S}[/math] とY 上の任意の近縁U に対しW(A,U)を

[math]W(A,U) :\underset{def}{=} \{(f,g)\in \mathcal{C}(X,Y)^2 \mid \forall x\in A ~:~ (f(x),g(x)) \in U \}[/math]

により定義すると、

[math]\{W(A,U)\}_{A \in \mathcal{S}}[/math]

が[math]\mathcal{C}(X,Y)[/math]上の基本近縁系になる事を簡単に確認できる。この基本近縁系が定める一様構造を[math]\mathcal{C}(X,Y)[/math]上の各点収束の一様構造 (resp. 一様収束の一様構造、コンパクト収束の一様構造)という。

なお、X が位相構造を持たない単なる集合である場合においても、集合X から一様空間Y への関数全体の集合[math]\mathcal{F}(X,Y)[/math]上に各点収束の一様構造と一様収束の一様構造を同様にして定義できるが本論から外れるので詳細は省略する。

以下区別の為、[math]\mathcal{C}_s(X,Y)[/math]、[math]\mathcal{C}_u(X,Y)[/math]、[math]\mathcal{C}_c(X,Y)[/math]をそれぞれ[math]\mathcal{C}(X,Y)[/math]に各点収束の一様構造、一様収束の一様構造、コンパクト収束の一様構造を入れた空間とする。

以上で定義した3種類の一様構造はいずれも[math]\mathcal{C}(X,Y)[/math]上に位相構造を定め、それらの位相構造は[math]\mathcal{C}(X,Y)[/math]上の収束概念を定める。これらの収束概念は以下の性質を満たす：

定理（[math]\mathcal{C}(X,Y)[/math]上の一様構造が定める収束概念の特徴づけ）

[math]f_{\lambda}[/math]を[math]\mathcal{C}(X,Y)[/math]上の有向点族とし、[math]f[/math]を[math]\mathcal{C}(X,Y)[/math]の元とする。このとき、各点収束の一様構造(resp. 一様収束の一様構造、コンパクト収束の一様構造）が定める位相構造で[math]f_{\lambda}[/math]が[math]f[/math]に収束する必要十分条件は[math]f_{\lambda}[/math]が[math]f[/math]に各点収束（resp. 一様収束、コンパクト収束）する事である。

ここで[math]f_{\lambda}[/math]が[math]f[/math]にコンパクト収束するとは、X の任意のコンパクトな部分集合K に対し、[math]f_{\lambda}|_K[/math]は[math]f|_K[/math]に一様収束する事を言う。


以上で定義した3つの一様構造の中では一様収束の一様構造が最も細かく、次いでコンパクト収束の一様構造、各点収束の一様構造の順で粗くなっていく。これらは一般には一致するとは限らないものの、ある種の条件を満たす部分集合上では後者2つが一致する事が知られている。


Ascoliの定理[7]

[math]\mathcal{C}(X,Y)[/math]の部分集合H が以下の性質（同程度連続性という）を満たせばH 上のコンパクト収束の一様構造は各点収束の一様構造と一致する：

  • X の任意の元x とY の任意の近縁U に対しx の近傍V ⊂ X を適切にとれば、全ての(f , z ) ∈ H × V に対し(f (x ), f (z )) ∈ U が成立する。


次にこれら3つの一様構造が定める位相を調べる。各点収束の一様構造が定める位相構造は以下のものと一致する：（連続とは限らない）写像全体の集合[math]\mathcal{F}(X,Y)[/math]を直積Y X と同一視した場合にY が[math]\mathcal{F}(X,Y)=Y^X[/math]に誘導する位相を[math]\mathcal{C}(X,Y)[/math]に制限したもの。

一方コンパクト収束の一様構造の定める位相は以下のように記述できる：


定理（コンパクト収束の一様構造が定める位相）

[math]\mathcal{C}(X,Y)[/math]上のコンパクト収束の一様構造の誘導する位相構造はコンパクト開位相と一致する。ここでコンパクト開位相とは、

[math]V(K,U) :\underset{def}{=} \{ f\in \mathcal{C}(X,Y) \mid f(K)\subset U\}[/math]

とするとき

[math]\{V(K,U)\}[/math]KはXのコンパクトな部分集合、UはYの開集合

を準開基とする位相構造の事である。


以下執筆中

歴史

アンドレ・ヴェイユが1937年に一様構造の明示的な定義を与える以前は、一様概念は完備性同様に距離空間に付随するものとして扱われていた。ブルバキの著書『Topologie Générale』では近縁系を用いた一様構造の定義が与えられ、またジョン・テューキーは一様被覆での定義を与えた。ヴェイユはまた、擬距離の族を用いた一様空間の特徴づけも与えている。

注記

  1. ↑ uniform continuity
  2. ↑ 『集合と位相空間』、柴田敏男著、共立出版。p240
  3. ↑ 「完全正則空間」という言葉はハウスドルフ性を満たす場合のみに使う場合とハウスドルフでないものを許容する場合があるが、ここでは英語版wikipediaのTychonoff spaceの記述と整合性を取る為、「完全正則空間」という言葉を後者の意味で用いる事にし、前者を「チコノフ空間」と呼ぶ事にした。なお参考文献である『集合と位相空間』（柴田敏男著）では「完全正則空間」という言葉を前者の意味で用いている。
  4. ↑ 4.0 4.1 『集合と位相空間』、柴田敏男著、共立出版。p245-246
  5. ↑ 5.0 5.1 『集合と位相空間』、柴田敏男著、共立出版。p240
  6. ↑ 『集合と位相空間』、柴田敏男著、共立出版。p270
  7. ↑ 『集合と位相空間』、柴田敏男著、共立出版。p278

関連項目

参考文献

  • John L. Kelley [1955] (1975). General topology, Graduate Texts in Mathematics, No. 27. Springer-Verlag, New York-Berlin. ISBN 978-0387901251. 『位相空間論』 児玉之宏訳、吉岡書店〈数学叢書〉、1968年。
  • Nicolas Bourbaki, General Topology (Topologie Générale), ISBN 0-387-19374-X (Ch. 1-4), ISBN 0-387-19372-3 (Ch. 5-10): Chapter II is a comprehensive reference of uniform structures, Chapter IX § 1 covers pseudometrics, and Chapter III § 3 covers uniform structures on topological groups
  • John R. Isbell, Uniform Spaces ISBN 0-8218-1512-1
  • I. M. James, Introduction to Uniform Spaces ISBN 0-521-38620-9
  • I. M. James, Topological and Uniform Spaces ISBN 0-387-96466-5
  • John Tukey, Convergence and Uniformity in Topology; ISBN 0-691-09568-X
  • André Weil, Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale, Act. Sci. Ind. 551, Paris, 1937


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