レピュニット

レピュニット (レピュニット数、レプユニット数、単位反復数、英: Repunit) とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである。名前の由来は repeated unitを省略した単語であり、1966年にアルバート・ベイラーが Recreations in the Theory of Numbers の中で命名したものである^{[注釈 1]}。

10進法におけるレピュニットは R_n = (10ⁿ − 1) / 9 の形に表される。n = 2, 19, 23, 317, 1031, ...(オンライン整数列大辞典の数列 A004023) のときに、R_n は素数となる。2進法におけるレピュニットはメルセンヌ数 ( $M n$ = 2ⁿ − 1) である。レピュニットが素数であるとき、レピュニット素数 (またはレプユニット素数、英: Repunit prime)という。レピュニット素数は無限にあると予想されているが、証明されていない。

レピュニットの性質

m が n を割り切るならば、R_m は R_n を割り切る。よって、n が合成数ならば、R_n は合成数となる。

100 を法として 11 と合同な平方数は存在しないから、レピュニットで平方数となるものは 1 のみである。一般に、レピュニットで累乗数となるものは 1 のみであることが知られている (Bugeaud, Mignotte 1999a^[2])。

レピュニットは各桁の総乗が 1 となるため、すべてズッカーマン数である。

R_n は、n が3の累乗数のとき（n が 1 = 3⁰ のときも含む）は全てハーシャッド数である。

nの値と必ず含まれる約数

偶数 - 11
- 4の倍数 - 11 · 101
3の倍数 - 3 · 37
5の倍数 - 41 · 271
7の倍数 - 239 · 4649
17の倍数 - 2071723 · 5363222357

など

901型の例

^[3]^[4]^[5]^[6]

_n
R₀₆	R₂ × R₃	1221	×	91	7 · 13
R₁₀	R₂ × R₅	122221		9091	素
R₁₄	R₂ × R₇	12222221		909091	素
R₁₈	R₂ × R₉	1222222221		90909091	7 · 13 · 19 · 52579
R₂₂	R₂ × R₁₁	122222222221		9090909091	11 · 23 · 4093 · 8779

R₂₀ = 1222210000122221 × 9091
R₂₄ = 112233332211 × 990000999901
R₁₂ = 11222211 × 9901
R₂₄ = 1111222222221111 × 99990001
R₂₈ = 1222222100000012222221 × 909091
R₃₆ = 333000333333000333 × 999999000001
R₃₈ = 12222222222222222221 × 909090909090909091
R₃₉ = 123333333333321 × 900900900900990990990991

など

R₀₆ = 11 × (9091 + 1010)
R₀₈ = 11 × (909091 + 101010)
R₁₀ = 11 × (90909091 + 10101010)

1と0のみで表す例

_n	(10^n/2 − 1) / 9	^[7]	10^n/2 + 1
[[11\|R_{テンプレート:None2}]]	1	1 × 11	11
[[1111\|R_{テンプレート:None4}]]	11	11 × 101	101
R_{テンプレート:None6}	3 · 37	111 × 1001	7 · 11 · 13
R_{テンプレート:None8}	11 · 101	1111 × 10001	73 · 137
R₁₀	41 · 271	11111 × 100001	11 · 9091

_n
R₀₂		テンプレート:0001 × 11	1 × 11
R₀₃	#	テンプレート:0001 × 111
R₀₄	$	テンプレート:0001 × 1111	11 × 101
R₀₅	%	テンプレート:0001 × 11111
R₀₆	&	テンプレート:0001 × 111111	111 × 1001
R₀₆	#	0011 × 10101
R₀₇	*	テンプレート:0001 × 1111111
R₀₈	$	0011 × 1010101	1111 × 10001
R₀₉	#	0111 × 1001001
R₁₀	%	0011 × 101010101	11111 × 100001
R₁₂	&	0011 × 10101010101	111111 × 1000001
	$	0111 × 1001001001
	#	1111 × 100010001
R₁₄	*	0011 × 1010101010101	1111111 × 10000001

_n
R₀₆	1 × 111 × 1001	91 · 11
R₁₂	11 × 10101 × 1000001	9901 · 101
R₁₈	111 × 1001001 × 1000000001	999001 · 1001
R₂₄	1111 × 100010001 × 1000000000001	99990001 · 10001

_n
R₀₄	11 × 101
R₀₈	101 × 110011
R₁₂	1001 × 111000111	1221001221 × 91
R₁₆	10001 × 111100001111
R₂₀	100001 × 111110000011111	1222210000122221 × 9091
R₂₄	1000001 × 111111000000111111	1221001221001221001221 × 91

累乗数 − 累乗数

^[8]

_n	R_n×(10ⁿ+1)
	^[9]^[10]^[11]
[[11\|R_{テンプレート:None2}]]	6² − 5²	6² − 5²		6² − 5²
[[111\|R_{テンプレート:None3}]]		56² − 55²	56² − 55²
[[1111\|R_{テンプレート:None4}]]	56² − 45²	556² − 555²
R_{テンプレート:None5}		5556² − 5555²
R_{テンプレート:None6}	556² − 445²	55556² − 55555²	5056² − 5045²	656² − 565²
R_{テンプレート:None7}		555556² − 555555²
R_{テンプレート:None8}	5556² − 4445²	テンプレート:None（省略）
[[111111111\|R_{テンプレート:None9}]]		テンプレート:None（省略）	500556² − 500445²
R₁₀	テンプレート:None（省略）	テンプレート:None（省略）		65656² − 56565²
R₁₁		テンプレート:None（省略）
R₁₂	テンプレート:None（省略）	テンプレート:None（省略）	50005556² − 50004445²
R₁₃		テンプレート:None（省略）
R₁₄	テンプレート:None（省略）	テンプレート:None（省略）		6565656² - 5656565²

知られているレピュニット素数

現在、R_n で n = 2, 19, 23, 317, 1031 の時に素数となることが知られている。n = 49081, 86453 の場合も確率的素数 (PRP, probable prime) であるが、桁数が大きいために素数判定は困難である。2007年4月3日、H. Dubner は n=109297 の場合が PRP であると発表し^[12]、その後 n≦200000 にはそれ以外の PRP は見つかっていないと報告している^[13]。また、同年7月15日、M. Voznyy は n=270343 の場合が PRP であると発表した^[14]。

*R_n* = (10ⁿ − 1) / 9
No.	n	年	発見者
1	2	-	-
2	19	-	-
3	23	-	-
4	317	1978	Williams
5	1031	1986	Williams, Dubner
6	49081 ?	1999	Dubner
7	86453 ?	2000	Baxter
8	109297 ?	2007	Dubner
9	270343 ?	2007	Voznyy