ルーシェの定理
ルーシェの定理 (仏: Théorème de Rouché、英: Rouché's theorem)は、フランスの数学者であるEugène Rouché (1832年-1920年) が1862年に発表した複素解析における定理であり、留数定理および偏角の原理と密接な関係がある。
定理の主張は、直観的にはやや意味がわかりにくいが、応用面ではかなり強力なツールであり、代数学の基本定理の証明もかなり簡単にできてしまう(後述)。
定理
[math]D\ [/math] を複素平面（ガウス平面）のある単連結な開集合（領域）、[math]\partial D[/math] をその境界 （ただし、連続曲線であるなど、十分に良い性質を持つものとする）、[math]K\ [/math] を [math]D\ [/math] の閉包 （= [math]D + \partial D\ [/math]） とし、[math]f(z)\ [/math] および [math]g(z)\ [/math] を[math]K\ [/math] 上で定数でない正則な複素関数で、[math]\partial D\ [/math]上で、[math]|f(z)| \gt |g(z)| \ [/math] を満たすとすれば、 [math]D\ [/math] 内での [math]f(z)+g(z)\ [/math] と [math]f(z)\ [/math] の零点の個数 （ただし位数nの零点はn個として数える）は一致する。
証明
まず、
- [math]\log (f(z)+g(z)) = \log f(z) + \log (1 + g(z)/f(z))\ [/math]
であることに注目する。 [math]f(z)\ [/math] および [math]g(z)\ [/math] は [math]D\ [/math] で極を持たないので偏角の原理 から [math]f(z)+g(z)\ [/math] の [math]D\ [/math] 内における零点の個数をnとすれば、
- [math] n = \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D} \frac{d \log (f(z)+g(z))}{dz} dz [/math]
- [math] = \frac{1}{2\pi i}\left[\oint_{\partial D} \frac{d \log f(z)}{dz}dz + \oint_{\partial D} \frac{d \log (1 + g(z)/f(z))}{dz}dz \right] [/math]
である。
ここで [math] \omega \colon K \to \mathbb{C}\ [/math] を、[math] \omega(z) = 1 + g(z)/f(z)\ [/math] で定義する。[math]\partial D\ [/math] 上では [math]|f(z)| \gt |g(z)| \ [/math] という条件から、[math]\partial D\ [/math] 上では [math]|f(z)| \gt 0 \ [/math] であり、[math]f(z)\ [/math] および [math]g(z)\ [/math] は[math]K\ [/math] 上で正則であるから、[math] \omega(z)\ [/math] は [math]\partial D\ [/math] 上で正則である。従って [math]\omega(z)\ [/math] による [math]\partial D\ [/math] の像を [math]C\ [/math] とすれば、 [math]C\ [/math] も (連続曲線であるなど) 十分に良い性質を持った曲線である。
上の式の右辺第2項の積分を考えれば、
- [math] \oint_{\partial D} \frac{d\log (1 + g(z)/f(z))}{dz}dz = \oint_{\partial D} \frac{d\log \omega}{d\omega}\frac{d\omega}{dz}dz = \oint_C \frac{d\log \omega}{d\omega}d\omega [/math]
である。結局この式の値は [math]\log \omega\ [/math] を [math]C\ [/math] 上のある点を始点として [math]C\ [/math] に沿って一周した場合の増分になるが、[math]\partial D\ [/math] 上では [math]|f(z)| \gt |g(z)| \ [/math] という条件から [math]C\ [/math] 上では [math]Re \ \omega\ [/math] は正であり、 [math]C\ [/math] は [math]\log \omega\ [/math] の分岐点である [math]\omega\ [/math] = 0 を一周しないので、その値は 0 である。従って、
- [math] n = \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D} \frac{d\log (f(z)+g(z))}{dz} dz = \frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D} \frac{d\log f(z)}{dz}dz [/math]
が成り立ち、定理の主張のとおりとなる。
応用例
代数学の基本定理の証明
- [math]f(z) = z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0[/math]
を最高次数の係数が 1 の任意の n 次複素数係数多項式とした場合、[math]f(z)\ [/math] が複素平面上で n 個の零点を持つことを証明する。
[math]R\ [/math] を正の実数とし、[math]D = \{z \mid |z| \lt R \}\ [/math] と置く。また、
- [math]g(z) = a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_1 z + a_0\ [/math]
- [math]h(z) = z^n\ [/math]
と置く。[math]R\ [/math] を十分大きく取れば [math]\partial D\ [/math] 上で [math]|h(z)| \gt |g(z)|\ [/math] が成立するので、 [math]D\ [/math] 内における [math]h(z)\ [/math] と [math]h(z)+g(z)\ [/math] (= [math]f(z)\ [/math] ) の零点の個数は一致し、 [math]h(z)\ [/math] の形から明らかなように、その値は n となる。
関連項目
参考文献
- 遠木幸成・阪井章 『関数論』 学術図書出版社、1966年、82-83頁。
- 松田哲 『複素関数』 岩波書店、1996年、110-111頁。