ルンゲの定理

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青色のコンパクト集合と各々の穴の中の点上で与えられた正則函数 f が与えられると、これらの 3つの点でのみ極を持つ有理関数により f を近似することができる。

複素解析では、ルンゲの定理(Runge's theorem)（また、ルンゲの近似定理(Runge's approximation theorem)としても知られている）は、1885年、最初にこの定理を証明したドイツの数学者カール・ルンゲ (Carl Runge) の名前に因んでいる。この定理は以下の内容である。

C により複素数の集合を、K により C のコンパクト部分集合を、f により K を含む開集合上で正則な函数を表すとする。A が [math]\mathbb{C}\backslash K[/math] の中のすべての有界連結な集合の少なくともひとつの複素数を含むような集合とすると、有理函数の列 [math](r_n)_{n\in\N}[/math] が存在し、K 上の f へ一様収束し、函数 [math](r_n)_{n\in\N}[/math] のすべての極は A の元である。

A のすべての複素数が有理函数の列 [math](r_n)_{n\in\N}[/math] の極となるわけではないことに注意する。[math](r_n)_{n\in\N}[/math] 極となるようなすべての数については、それらが A の中にあることしか分からない。

この定理が非常に強力であるという一つの側面は、集合 A を任意に選択できることである。言い換えると、[math]\mathbb{C}\backslash K[/math] の有界連結な成分の中から任意の複素数を選び、選んだ数のみが極となるように有理函数の列の存在するようにを選ぶことができるという定理である。

[math]\mathbb{C}\backslash K[/math] が連結集合（同値なことであるが、K が単連結）である特別な場合は、定理の集合 A は食う集合となる。極をもたない有理函数は単に多項式であるので、次の系を得る。K が [math]\mathbb{C}\backslash K[/math] が連結集合であるような C のコンパクト部分集合である、f が K 上の正則函数であれば、K 上で一意に f へ収束する多項式の列 [math](p_n)[/math] が存在する。

ルンゲの定理は次のように一般化される。A をリーマン球面 C∪{∞} の部分集合とし、A が K の非有界な連結成分（ここでは ∞ を含んでいる）と交わるとすると、上の定式化の中では、有理函数は無限遠点に極を持つことが分かる。一方、さらに一般的な定式化の中では、極は K の非有界な連結成分のどこにでも選ぶことができる。

証明

Sarason (1998)で与えられた基本的な証明は、次のような証明である。閉で区分線型な K を含む開集合の周囲 Γ が存在する。コーシーの積分定理により、K の元 w について、

[math]f(w)={1\over 2\pi i} \int_\Gamma {f(z) \, dz\over z-w}[/math]

である。リーマン近似和は、K 上の周回積分を一意に近似することに使える。和の各々の項は、積分路の周意の点 z に対し、 (z − w)⁻¹ のスカラー倍である。これは Γ 上に極を持つ有理函数により一意に近似する。

これを K の各々の成分の特別な点で極を持つ近似へ変形するには、形式 (z − w)⁻¹ の項に対しこのことを確認することで充分である。z₀ が z として同じ成分の中の点であれば、z から z₀ への区分線型な経路をとる。2つの点が経路上充分近くであれば、最初の点でのみ極を持つすべての有理函数は、第二の点でのローラン展開することができる。ローラン級数が第二の点でのみ極を持ち、K 上でもとの函数に一様に収束する有理函数を与えることにより、消去することができる。z から z₀ への経路にそって進むと、もとの函数 (z − w)⁻¹ は z₀ でのみ極を持つ有理函数を与えるように変形することができる。

z₀ が無限遠点であれば、上の手順により、有理函数 (z − w)⁻¹ を、R を w < R となるように大きくすると、R > 0 で極を持つ有理函数 g により、まず近似することができる。g の 0 でのテイラー級数展開は、K 上の多項式近似を与えることにより消去することができる。

参照項目

• メルゲルヤンの定理

参考文献

• Conway, John B. (1997), A Course in Functional Analysis (2nd ed.), Springer, ISBN 0-387-97245-5 
• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of One Complex Variable (2nd ed.), American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2905-X 
• Sarason, Donald (1998), Notes on complex function theory, Texts and Readings in Mathematics, 5, Hindustan Book Agency, pp. 108-115, ISBN 81-85931-19-4 

外部リンク

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