リーマンのクシー関数

ファイル:Complex Riemann Xi.jpg

複素平面におけるリーマンのクシー関数 ξ(s). 点 s の色は関数の値を表している。より暗い色は 0 により近い値を表し、色相は値の偏角を表す。

数学において、リーマンのクシー関数 (Riemann Xi function) はリーマンのゼータ関数の変形で、とりわけ単純な関数等式をもつように定義される。関数はベルンハルト・リーマンに敬意を表して名づけられている。

定義

リーマンのもともとの小文字のクシー関数、ξ はエトムント・ランダウによって大文字のクシー、Ξ に改名された（下記参照）。ランダウの小文字クシー、ξ は次のように定義される： s ∈ C に対して

[math]\xi(s) = \frac{1}{2} s(s-1) \pi^{-s/2} \Gamma\left(\frac{1}{2} s\right) \zeta(s).[/math]

ここで ζ(s) はリーマンのゼータ関数を表し、Γ(s) はガンマ関数である。クシーの関数等式（あるいは reflection formula）は

[math]\xi(1-s) = \xi(s)[/math]

である。大文字のクシー、Ξ は Landau (loc. cit., §71) によって

[math]\Xi(z) = \xi\left(\frac12+zi\right)[/math]

と定義され、関数等式

[math]\Xi(-z) =\Xi(z)[/math]

をもつ。Landau (loc. cit., p. 894) によって報告されているようにこの関数 Ξ はリーマンがもともと ξ によって表記した関数である。

値

偶数に対する一般式は

[math]\xi(2n) = (-1)^{n+1}\frac{1}{(2n)!}B_{2n}2^{2n-1}\pi^{n}(2n^2-n)(n-1)![/math]

である、ただし B_n は n 番目のベルヌーイ数を表す。例えば

[math]\xi(2) = {\pi \over 6} [/math]

である。

級数表現

クシー関数は級数展開

[math]\frac{d}{dz} \log \xi \left(\frac{-z}{1-z}\right) = \sum_{n=0}^\infty \lambda_{n+1} z^n[/math]

をもつ、ただし

[math]\lambda_n = \frac{1}{(n-1)!} \left. \frac{d^n}{ds^n} \left[s^{n-1} \log \xi(s) \right] \right|_{s=1} = \sum_{\rho} \left[1- \left(1-\frac{1}{\rho}\right)^n\right][/math]

であり、この和はゼータ関数の非自明な零点 ρ を テンプレート:Mabs の順番で渡る。

この展開は Li's criterion においてとりわけ重要な役割を果たす。その主張は、リーマン予想はすべての正の n に対して λ_n > 0 であることと同値であるというものである。

アダマール積

単純な無限積展開は

[math]\Xi(s) = \Xi(0)\prod_\rho \left(1 - \frac{s}{\rho} \right),\![/math]

ただし ρ は ξ の根を走る。

展開の収束を保証するには、積は零点の "matching pairs" 上でとられなければならない、すなわち ρ と 1 − ρ の形の零点のペアの因子は一緒にグループされなければならない。

関連項目

• 『与えられた数より小さい素数の個数について』：クシー関数を導入したリーマンの論文

関連文献

• Weisstein, Eric W. “Xi-Function”. MathWorld（英語）.
• Keiper, J.B. (1992). “Power series expansions of Riemann's xi function”. Mathematics of Computation 58 (198): 765–773. Bibcode 1992MaCom..58..765K. doi:10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5.