ユニタリ群

テンプレート:Groups n 次のユニタリ群(ユニタリぐん、英: unitary group) U(n) とは、n 次ユニタリ行列のなす群のことである。演算は行列の積で与えられる。

ユニタリ群は一般線型群の部分群である。

定義

複素数体上のユニタリ群

[math]\begin{align} \operatorname{U}(n) &= \{\, U \in \operatorname{GL}(n,\mathbb{C}) \mid \forall x, y \in \mathbb{C}^n : \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle \,\} \\ &= \{\, U \in \operatorname{GL}(n,\mathbb{C}) \mid U^\dagger U = I_n \,\} \end{align}[/math]

ここで GL(n, C) は一般線型群、〈-, -〉はエルミート形式、†はエルミート共役である。

つまりユニタリ群の元は有限次複素線型空間のエルミート形式を―したがってノルムを―保つ。これは「絶対値が 1 の複素数」の線型変換における類似物である。

一般の体上のユニタリ群

ユニタリ群は一般の体上では次のように定義される。 基礎体 K の2次拡大体 L をとる。 線型空間 V = Lⁿ 上のエルミート形式

[math] \langle x, y \rangle = x_1 \overline{y_1} + \dotsb + x_n \overline{y_n} \qquad \big(x = (x_i),\ y = (y_i) \in V\big) [/math]

（ここで [math]\overline{y_i}[/math] は代数共役を表す） を不変に保つ V 上の線型自己同型写像のなす群を U(n, K, L) と表し、これをユニタリ群という。

[math] \operatorname{U}(n, K, L) = \{\, U \in \operatorname{GL}(n, L) \mid \forall x, y \in V : \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle \,\} [/math]

例

4元体を F₄ = {0, 1, ω, ω²} とする。 ただし演算は関係式 ω² + ω + 1 = 0 から定める。このとき U(2, F₂, F₄) は位数18の群で次の2元から生成される。

[math] \operatorname{U}(2, \mathbb{F}_2, \mathbb{F}_4) = \Big\langle \begin{pmatrix} \omega & \omega \\ 0 & \omega \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \Big\rangle [/math]

性質

複素数体上のユニタリ群は以下の性質を満たす。

• 最も単純な n = 1 の U(1) は巡回群に対応し、絶対値が1の複素数からなる。全てのユニタリ群は U(1) のコピーを含む。
• ユニタリ群 U(n) は次元 n² の実リー群である。
• U(n) のリー代数は n 次歪エルミート行列からなり、その括弧積は交換子で与えられる。

関連項目

• 特殊ユニタリ群
• リー群