ヤコビの虚数変換式

ヤコビの虚数変換式(Jacobi's imaginary transformation)は、楕円テータ関数に関する次のような恒等式である。

[math]\vartheta_3\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)=e^{- \pi i /4}\tau^{1/2} e^{{\pi}iv^2/\tau}\vartheta_3\left(v,\tau\right)[/math]

[math]\vartheta_1\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)= - i e^{- \pi i /4} \tau^{1/2} e^{{\pi}iv^2/\tau}\vartheta_1\left(v,\tau\right)[/math]

[math]\vartheta_2\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)= e^{- \pi i /4} \tau^{1/2} e^{{\pi}iv^2/\tau}\vartheta_4\left(v,\tau\right)[/math]

[math]\vartheta_4\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)= e^{- \pi i /4} \tau^{1/2} e^{{\pi}iv^2/\tau}\vartheta_2\left(v,\tau\right)[/math]

この恒等式の日本語の呼称は定まっていず、ヤコビの虚数変換式、ヤコビのモジュラー変換式、あるいは単にヤコビ変換式とも呼ばれる。テータ関数は二変数の関数であるが、第二変数を純虚数の定数として第一変数に着目すれば「虚数変換式」という呼称が的を射て、第一変数を定数として第二変数に着目すれば「モジュラー変換式」という呼称が的を射る。

公式に関する注意点

• [math]\theta_{i}(z, \tau)[/math]の定義は一意ではなく、いくつかの流儀があり文献によって異なるので注意が必要である(主として、[math]\theta_{ij}(z, \tau)[/math]の定義の違いが混乱を生んでいる)。この記事での定義は、D.Mumfordに従った次のようなものである。

[math] \begin{align} \theta_{0}(z, \tau) &:= \theta_{01}(z, \tau)\\ &:= \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i\tau n^{2} + 2 \pi i n \left(z + \frac{1}{2}\right)}\\ &=1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n e^{\pi i \tau n^{2}} \cos2n \pi z ,\\ \theta_{1}(z, \tau) &:= - \theta_{11}(z, \tau)\\ &:= - \sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{\pi i\tau \left(n + \frac{1}{2}\right)^2 + 2 \pi i \left(n + \frac{1}{2}\right) \left(z + \frac{1}{2}\right)}}\\ &=2 \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} e^{\pi i \tau \left(n + \frac{1}{2}\right)^{2}} \sin(2n + 1) \pi z,\\ \theta_{2}(z, \tau) &:= \theta_{10}(z, \tau)\\ &:= \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i \tau \left(n + \frac{1}{2}\right)^{2} + 2 \pi i \left(n + \frac{1}{2}\right) z}\\ &= 2 \sum_{n=0}^{\infty} e^{\pi i \tau \left(n + \frac{1}{2}\right)^{2}} \cos(2 n + 1) \pi z,\\ \theta_{3}(z, \tau) &:= \theta_{00}(z, \tau)\\ &:= \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i \tau n^{2} + 2 \pi i n z}\\ &= 1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} e^{{\pi}i{\tau} n^{2}} \cos2n \pi z. \end{align} [/math]

• 「岩波数学公式集Ⅲ」p.48.では誤った式が書かれているので注意せよ。

楕円関数の虚数変換

ヤコビの楕円関数はテータ関数の比により表される。楕円関数の周期を[math]K,iK'[/math]とすると

[math]\tau=\frac{iK'}{K}[/math]

[math]k=\left(\frac{\vartheta_2(0,\tau)}{\vartheta_3(0,\tau)}\right)^2[/math]

[math]\operatorname{sn}(u,k)=\frac{\vartheta_3(0,\tau)\vartheta_1(u/2K,\tau)}{\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_4(u/2K,\tau)}[/math]

[math]\operatorname{cn}(u,k)=\frac{\vartheta_4(0,\tau)\vartheta_2(u/2K,\tau)}{\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_4(u/2K,\tau)}[/math]

テータ関数の虚数変換式により

[math]\tau'=-\frac{1}{\tau}=\frac{iK}{K'}[/math]

[math]k'=\left(\frac{\vartheta_2(0,\tau')}{\vartheta_3(0,\tau')}\right)^2[/math]

[math]\operatorname{sn}(iu,k)=\frac{\vartheta_3(0,\tau)\vartheta_1(iu/2K,\tau)}{\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_4(iu/2K,\tau)}=\frac{i\vartheta_3(0,\tau')\vartheta_1(u/2K',\tau')}{\vartheta_4(0,\tau')\vartheta_2(u/2K',\tau')}=i\frac{\operatorname{sn}(u,k')}{\operatorname{cn}(u,k')}[/math]

[math]\operatorname{cn}(iu,k)=\frac{\vartheta_4(0,\tau)\vartheta_2(iu/2K,\tau)}{\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_4(iu/2K,\tau)}=\frac{\vartheta_2(0,\tau')\vartheta_4(u/2K',\tau')}{\vartheta_4(0,\tau')\vartheta_2(u/2K',\tau')}=\frac{1}{\operatorname{cn}(u,k')}[/math]

となり、楕円関数の虚数変数を得る。

証明

[math]\vartheta_3(v,\tau)[/math]の虚数変換式の両辺の比を[math]f(v,\tau)[/math]して恒等的に[math]f(v,\tau)=1[/math]であることを証明する。テータ関数の二重周期性により

[math]f(v,\tau) =\frac{\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}iv^2/\tau}\vartheta_3\left(v,\tau\right)}{\vartheta_3\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)} [/math]

[math]f(v+1,\tau) =\frac{\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}iv^2/\tau+2{\pi}iv/\tau+{\pi}i/\tau}\vartheta_3\left(v+1,\tau\right)}{\vartheta_3\left(\frac{v}{\tau}+\frac{1}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)} =\frac{\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}iv^2/\tau+2{\pi}iv/\tau+{\pi}i/\tau}\vartheta_3\left(v,\tau\right)}{e^{{\pi}i/\tau+2{\pi}iv/\tau}\vartheta_3\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)} =f(v,\tau) [/math]

[math]f(v+\tau,\tau) =\frac{\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}i(v+\tau)^2/\tau}\vartheta_3\left(v+\tau,\tau\right)}{\vartheta_3\left(\frac{v}{\tau}+1,-\frac{1}{\tau}\right)} =\frac{\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}iv^2/\tau+2{\pi}iv+{\pi}i\tau}e^{-{\pi}i\tau-2{\pi}iv}\vartheta_3\left(v,\tau\right)}{\vartheta_3\left(\frac{v}{\tau},-\frac{1}{\tau}\right)} =f(v,\tau) [/math]

であるから、[math]f(v,\tau)[/math]は[math]v[/math]の関数として二重周期を持つ。また、テータ関数は極を持たず、零点は

[math]\vartheta_3\left(\frac{1\pm{2m}}{2}+\frac{(1\pm{2n})\tau}{2},\tau\right)=0[/math]

[math]\vartheta_3\left(\frac{1\pm{2m}}{2}-\frac{1\pm{2n}}{2\tau},-\frac{1}{\tau}\right)=0[/math]

であるから、[math]f(v,\tau)[/math]は[math]v[/math]の関数として複素平面全体で有界である。したがって、リウヴィルの定理により[math]v[/math]には依存しない。

[math]\begin{align}f\left(\frac{1}{2},\tau\right) &=\frac{\sqrt{-i\tau}e^{{\pi}i/4\tau}\vartheta_3\left(\frac{1}{2},\tau\right)}{\vartheta_3\left(\frac{1}{2\tau},-\frac{1}{\tau}\right)}=\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{n^2{\pi}i\tau+n{\pi}i}}}{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{n^2{-\pi}i/\tau+n{\pi}i/\tau}e^{-{\pi}i/4\tau}}}\\ &=\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-1)^{n}e^{n^2{\pi}i{\tau}}}}{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{-(2n-1)^2{\pi}i/4\tau}}}\\ &=\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-1)^{n}e^{n^2{\pi}i{\tau}}}}{2\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-(2n-1)^2{\pi}i/4\tau}}}\\ \end{align}[/math]

[math]\begin{align}f\left(\frac{1}{4},\frac{\tau}{4}\right) &=\frac{\sqrt{-i(\tau/4)}e^{{\pi}i/4\tau}\vartheta_3\left(\frac{1}{4},\frac{\tau}{4}\right)}{\vartheta_3\left(\frac{1}{\tau},-\frac{4}{\tau}\right)} =\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{n^2{\pi}i\tau/4+n{\pi}i/2}}}{2\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{-4n^2\pi}i/\tau+2n{\pi}i/\tau}e^{-{\pi}i/4\tau}}}\\ &=\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{i^{n}e^{n^2{\pi}i{\tau}/4}}}{2\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{-(2n-1/2)^2{\pi}i/\tau}}} =\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{i^{n}e^{n^2{\pi}i{\tau}/4}}}{2\left(\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-(2n-1/2)^2{\pi}i/\tau}}+\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-(-2n+1-1/2)^2{\pi}i/\tau}}\right)}\\ &=\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{i^{n}e^{n^2{\pi}i{\tau}/4}}}{2\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-(n-1/2)^2{\pi}i/\tau}}}\\ \end{align}[/math]

分子の[math]n[/math]が奇数の項は正負で打ち消しあうから偶数の[math]n[/math]を[math]2n[/math]に改める。

[math]\begin{align}f\left(\frac{1}{4},\frac{\tau}{4}\right) &=\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{i^{2n}e^{(2n)^2{\pi}i{\tau}/4}}}{2\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-(n-1/2)^2{\pi}i/\tau}}} =\frac{\sqrt{-i\tau}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-1)^{n}e^{n^2{\pi}i{\tau}}}}{2\sum_{n=1}^{\infty}{e^{-(n-1/2)^2{\pi}i/\tau}}} =f\left(\frac{1}{2},\tau\right)\\ \end{align}[/math]

先に示したように[math]f(v,\tau)[/math]は[math]v[/math]に依存しないので

[math]f\left(v,\tau\right)=f\left(v,\frac{\tau}{4}\right)=\lim_{n\to\infty}f\left(v,\frac{\tau}{4^n}\right)=\lim_{\tau'\to0}f\left(v,\tau'\right)=f(v,0)[/math]

であり、[math]f(v,\tau)[/math]は[math]\tau[/math]にも依存しない定数である。その値は

[math]f(v,\tau)=f(0,i)=\frac{\vartheta_3\left(0,i\right)}{\vartheta_3\left(0,i\right)}=1[/math]

である。