ポアンカレの補題

数学において、ポアンカレの補題（ぽあんかれのほだい、英: Poincaré lemma）とは代数的位相幾何における定理の一つ。ユークリッド空間において、閉形式である微分形式が完全形式となることを主張する。

概要

導入

多様体上の k 次の微分形式 ω について、その外微分 dω が、

[math] \mathrm{d}\omega=0 \, [/math]

となる ω を閉形式 (closed form) という。あるいは同じことだが、d の核の元を閉形式という。 また、k 次微分形式 ω に対し、

[math] \omega=\mathrm{d}\eta \, [/math]

を満たす k − 1 次微分形式 η が存在する場合、ω は完全形式 (exact form) であるという。あるいは同じことだが、d の像の元を完全形式という。また、η はしばしばポテンシャルと呼ばれる。

外微分の性質

[math] \mathrm{d} \circ \mathrm{d}=0 \, [/math]

より、完全形式が閉形式であることは常に成り立つが、閉形式が完全形式になるかは、多様体の幾何学的性質によって異なる。

ポアンカレの補題は次のことを主張する：

『ユークリッド空間 Rⁿ（より一般的には可縮な多様体 M）において、任意の閉形式は完全形式である』

定理の主張

k > 0 とし、k 次微分形式 ω ∈ A^k(Rⁿ) が

[math] \mathrm{d}\omega=0 \, [/math]

を満たすとする。 このとき、k − 1 次微分形式 η ∈ A^k−1(Rⁿ) が存在して、

[math] \omega=\mathrm{d}\eta \, [/math]

が成り立つ。

ド・ラーム・コホモロジーによる表現

ド・ラーム・コホモロジーの概念を用いれば、ポアンカレの補題は次のように表現できる。

[math] H^k(\mathbb{R}^n) = \left\{\begin{matrix} \mathbb{R} & (k=0)\\ 0 & (k\gt 0) \end{matrix}\right. [/math]

但し、多様体 M に対し、H^k(M) は商ベクトル空間

[math] H^k(M) =Z^k(M)/B^k(M) \, [/math]

で定義される k 次のド・ラーム・コホモロジー群であり、Z^k(M) は

[math] Z^k(M)=\mathrm{ker}\, \mathrm{d} \cap A^k(M) \, [/math]

で定義される閉形式の k 次微分形式全体、B^k(M) は

[math] B^k(M)=\mathrm{im}\,\mathrm{d} \cap A^k(M) \, [/math]

で定義される完全形式の k 次微分形式全体である。

k = 0 の場合は、単に df(x) ≡ 0 ならば f が定数関数となることを述べており、k > 0 の場合が前述したポアンカレの補題と等価な表現となる。すなわち、閉形式（Z ^k(Rⁿ) の元）が完全形式（B ^k(Rⁿ) の元）になることを表している。

拡張

より一般に、可縮な多様体 M について次が成り立つ。

[math] H^k(M) = 0 \quad (k \gt 0). [/math]

具体例

例えば R² 上で定義される1次微分形式

[math] \omega_1=xy^2 \mathrm{d}x + x^2y \mathrm{d}y \, [/math]

は、外微分を考えると

[math] \mathrm{d}\omega_1=2xy\,\mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}x + 2xy\,\mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y=0 [/math]

となり、閉形式である。したがって、ポアンカレの補題より完全形式となる。実際、R² 上の0次微分形式

[math] \eta_1=\frac{1}{2}x^2y^2 \, [/math]

について、

[math] d\eta_1=xy^2 dx + x^2y \,dy =\omega_1 \, [/math]

が成り立つから、ω₁ は完全形式である。

一方、R² から原点を除いた領域 R²テンプレート:Setminus(0, 0) で定義される1次微分形式

[math] \omega_2=\frac{-y}{x^2 + y^2 }\,\mathrm{d}x + \frac{x}{x^2 + y^2 } \,\mathrm{d}y [/math]

は、外微分を考えると

[math] d\omega_2=0 \, [/math]

が成り立つから、ω₂ は閉形式である。しかしながら、考える領域はポアンカレの補題の条件を満たしておらず、ω₂ が完全形式であることは保証されない。R² から x 軸を除いた領域 R²テンプレート:Setminus{x = 0} で定義される0次微分形式

[math] \eta_2=\arctan{\frac{y}{x}} [/math]

について、

[math] \mathrm{d}\eta_2=\frac{-y}{x^2 + y^2 }\,\mathrm{d}x + \frac{x}{x^2 + y^2 } \,\mathrm{d}y [/math]

であり、局所的には ω₂ と一致するが、η₂ は R²テンプレート:Setminus(0, 0) では定義されない。

ベクトル解析との関係

ベクトル解析における、スカラーポテンシャルやベクトルポテンシャルの存在条件は、ポアンカレの補題の特別な場合に相当する。

スカラーポテンシャルの存在

R³ 全体で定義された3次元のベクトル場 F において、その回転 rot が

[math] \operatorname{rot}\mathbf{F}=\mathbf{0} [/math]

を満たすならば、

[math] \mathbf{F} = \operatorname{grad} \psi [/math]

の関係を満たす R³ 上のスカラーポテンシャル ψ が存在する。 この場合、F = (F₁, F₂, F₃) は1次微分形式

[math] \omega = F_1 \mathrm{d}x + F_2 \mathrm{d}y + F_3 \mathrm{d}z \, [/math]

に対応し、ψ は0次微分形式 η に対応している。また、回転 rot の作用は、1次微分形式に対する外微分に相当する。なお、ベクトル場の領域の条件としては、R³ 全体以外にも、単連結な領域をとることができる。

ベクトルポテンシャルの存在

同様に、R³ 全体で定義された3次元のベクトル場 G において、その発散 div が

[math] \operatorname{div}\mathbf{G}=0 [/math]

を満たすならば、

[math] \mathbf{G}= \operatorname{rot} \mathbf{A} [/math]

の関係を満たす R³ 上のベクトルポテンシャル A が存在する。 この場合、G = (G₁, G₂, G₃) は2次微分形式

[math] \omega = G_1 \mathrm{d}y \wedge \mathrm{d}z + G_2 \mathrm{d}z \wedge \mathrm{d}x + G_3 \mathrm{d}x \wedge \mathrm{d}y \, [/math]

に対応し、A = (A₁, A₂, A₃) は1次微分形式

[math] \eta = A_1 \mathrm{d}x + A_2 \mathrm{d}y + A_3 \mathrm{d}z \, [/math]

に対応している。また、発散 div の作用は、2次微分形式に対する外微分に相当する。

関連項目

• 微分形式
• ド・ラーム・コホモロジー
• アンリ・ポアンカレ

参考文献

• (1995) Differential Forms in Algebraic Topology. Springer. ISBN 978-0387906133. 

• • 『微分形式と代数トポロジー』 三村, 護 (翻訳)、シュプリンガー・フェアラーク東京、1996。ISBN 978-4431707073。