ブール代数
ブール代数（ブールだいすう、英: boolean algebra）またはブール束（ブールそく、英: boolean lattice）とは、ジョージ・ブールが19世紀中頃に考案した代数系の一つである。ブール代数の研究は束の理論が築かれるひとつの契機ともなった。ブール論理の演算はブール代数の一例であり、現実の応用例としては、組み合わせ回路（論理回路#組み合わせ回路）はブール代数の式で表現できる。
定義
ブール代数（ブール束）とは束論における可補分配束（complemented distributive lattice）のことである。
集合 L と L 上の二項演算 ∨（結び（join）と呼ぶ），∧（交わり（meet）と呼ぶ）の組 〈 L; ∨, ∧ 〉 が以下を満たすとき分配束（distributive lattice）と呼ぶ。
- 冪等則：x ∧ x = x ∨ x = x 、
- 交換則：x ∧ y = y ∧ x 、x ∨ y = y ∨ x 、
- 結合則：(x ∧ y)∧ z = x ∧(y ∧ z) 、(x ∨ y)∨ z = x ∨(y ∨ z) 、
- 吸収則：(x ∧ y)∨ x =x 、(x ∨ y)∧ x = x 、
- 分配則：(x ∨ y)∧ z = (x ∧ z)∨(y ∧ z) 、(x ∧ y)∨ z = (x ∨ z)∧(y ∨ z) 、
さらに L の特別な元 0, 1 と単項演算 ¬ について、以下が成り立つとき組 〈 L; ∨, ∧, ¬, 0, 1 〉 を可補分配束（ブール束）と呼ぶ。
- 補元則： x ∨ ¬x = 1， x ∧ ¬ x = 0。
典型的な例は、台集合として特別な２つの元 0, 1 のみの２点集合 {0, 1} からなるものであり、コンピュータの動作原理の理論としても知られている。 この代数の上では排他的論理和 (xor) や否定論理積(nand)など応用上重要な演算子が ∧、 ∨、 ¬ の組み合わせで記述される(∧ または ∨ も ¬ と残りの1つの組み合わせで記述される。)。
ブール環
任意の元 x に対して x2 = x を満たす単位的環 B をブール環（boolean ring）という。このとき
- [math] x \wedge y = xy, \qquad x \vee y = x + y + xy, \qquad \neg x = 1 + x [/math]
とおけば B はブール代数となる。 また B がブール代数のとき
- [math] xy= x \wedge y , \qquad x+y = (x \wedge \neg y) \vee (\neg x \wedge y)[/math]
とおけば B はブール環となる。 この対応はブール代数とブール環の間の自然な一対一対応を定めるので、しばしばこの2つは同一視される。 [1]。
脚注
- ↑ Davey & Priestley 2002, Excercise 4.27.
参考文献
- レイモンド・スマリヤン 『スマリヤン先生のブール代数入門 嘘つきパズル・パラドックス・論理の花咲く庭園』 川辺治之 訳、共立出版、2008-08。ISBN 978-4-320-01869-3。
- 『現代代数学概論』 奥川光太郎・辻吉雄 共訳、白水社、1967年、改訂第3版。
- 前田 周一郎 『束論と量子論理』 森北出版、2007年。ISBN 978-4-627-05399-1。 - 1980年に槙書店から出版され、2015年に森北出版から復刊された。
- Birkhoff, Garrett (1979), Lattice Theory (3rd Revised ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1025-5
- Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002), Introduction to lattices and order (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78451-1, MR 1902334, Zbl 1002.06001
- 本田あおい「書評 「Introduction to Lattices and Order」 (PDF) 」 、『知能と情報』第19巻第2号、日本知能情報ファジィ学会、2007年4月、 148頁。
- Grätzer, George (2008), Universal Algebra (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-77486-2
- Halmos, Paul R. (2012), Lectures on Boolean Algebras, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90094-0
関連項目
外部リンク
- Weisstein, Eric W. “Boolean Algebra”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。
- The Mathematics of Boolean Algebra （英語） - スタンフォード哲学百科事典「ブール代数」の項目。
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