フェイェールの定理

数学におけるフェイェールの定理（フェイェールのていり、英: Fejér's theorem）とは、ハンガリーの数学者リポート・フェイェールの名にちなむ定理である。f:R → C が周期 2π の連続函数であるなら、そのフーリエ級数の部分和の列 (s_n) のチェザロ平均の列 (σ_n) は、[-π,π] 上一様に f に収束する。

(s_n) を具体的に書くと、

[math]s_n(x)=\sum_{k=-n}^nc_ke^{ikx} [/math]

となる。ただし

[math]c_k=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)e^{-ikt}dt,[/math]

である。また (σ_n) は

[math]\sigma_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}s_k(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x-t)F_n(t)dt,[/math]

であり、F_n は第 n 次のフェイェール核を表す。

より一般的な形式において、この定理は必ずしも連続でない函数に対しても応用されている {{#invoke:Footnotes | harvard_citation }}。f は L¹(-π,π) に属するものと仮定する。f(x) の x₀ における左極限および右極限 f(x₀±0) が存在するか、いずれの極限も同符号の無限大であるなら、次が成り立つ：

[math]\sigma_n(x_0) \to \frac{1}{2}\left(f(x_0+0)+f(x_0-0)\right).[/math]

チェザロ平均の存在あるいは無限大への発散も、この関係式は意味している。マルツェル・リースのある定理によると、フェイエールの定理は (C, 1) 平均 σ_n がフーリエ級数の (C, α) 平均 に変えられても、同様に成立する。

参考文献

• Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric series (2nd ed.), Cambridge University Press (1988発行), ISBN 978-0-521-35885-9 .