パウリ行列

パウリ行列（パウリぎょうれつ, 英: Pauli matrices）、パウリのスピン行列（パウリのスピンぎょうれつ, 英: Pauli spin matrices）とは、下に挙げる3つの2×2複素行列の組みのことである。σ（シグマ）で表記されることが多い。量子力学のスピン角運動量や、部分偏極状態の記述方法に関連が深い。1927年に物理学者ヴォルフガング・パウリによって、スピン角運動量の記述のために導入された。

[math] \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\mbox{, } \quad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} \mbox{, } \quad \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} [/math]

添字は数学では 1, 2, 3 が使われるが物理学では x, y, z が使われる。また、座標系によって添字と3つの行列の対応が違ったり、あるいは符号が違ったり、さらには一見全く違って見えることもあるが、本質的な性質は変わらない。

上記3つに単位行列 I を加えた4つの行列をパウリ行列と呼ぶこともある。

[math] \sigma_0 = I= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} [/math]

基本的な性質

パウリ行列は次の性質を満たす。

パウリ行列の積

パウリ行列の自乗は単位行列に等しい。

[math] \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = I [/math]

また相異なるパウリ行列同士の積は次の関係を満たす。

[math] \sigma_1 \sigma_2 = -\sigma_2 \sigma_1 = i \sigma_3, \quad \sigma_2 \sigma_3 = -\sigma_3 \sigma_2 = i \sigma_1, \quad \sigma_3 \sigma_1 = -\sigma_1 \sigma_3 = i \sigma_2 [/math]

すなわち i, j, k = 1,2,3 について

[math] \begin{cases} \sigma_i^2 &= I = -i \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3\\ \sigma_i \sigma_j &= -\sigma_j \sigma_i \qquad (i \ne j) \end{cases}[/math]

が成り立つ。ここで クロネッカーのデルタ δ_ij とエディントンのイプシロン ε_ijk を用いれば、これらをまとめて

[math] \sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} I + i \sum_{k=1}^{3} \epsilon_{ijk} \sigma_k \qquad (i,j,k = 1,2,3) \,[/math]

と書くことができる。

交換関係・反交換関係

パウリ行列の交換関係と反交換関係は

[math]\begin{align}[] [ \sigma_i, \sigma_j ] &= \sigma_i \sigma_j - \sigma_j \sigma_i = 2i \sum_{k=1}^{3} \epsilon_{ijk} \sigma_k, \\ \{ \sigma_i, \sigma_j \} &= \sigma_i \sigma_j + \sigma_j \sigma_i = 2\delta_{ij} I \end{align}[/math]

となる。

固有値・固有ベクトル

それぞれのパウリ行列は、固有値+1と−1を持つ。それぞれの規格化された固有ベクトルは、

[math]\begin{alignat}{4} &|\sigma_{1,+}\rangle ={}& \tfrac{1}\sqrt{2} &\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},&\qquad &|\sigma_{1,-}\rangle ={}& \tfrac{1}\sqrt{2} &\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \\ &|\sigma_{2,+}\rangle ={}& \tfrac{1}\sqrt{2} &\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix},& &|\sigma_{2,-}\rangle ={}& \tfrac{1}\sqrt{2} &\begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix} \\ &|\sigma_{3,+}\rangle ={}& &\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},& &|\sigma_{3,-}\rangle ={}& &\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{alignat}[/math]

その他

パウリ行列はエルミート行列であり、ユニタリー行列でもある。

また、パウリ行列 σ_k (k=1,2,3) のトレース (Tr) はゼロとなり、行列式 (det) は−1となる。

[math] \begin{align} \operatorname{Tr}(\sigma_k) &= 0 \\ \det(\sigma_k) &= -1 \end{align} [/math]

σ₀ =I（2×2単位行列）を含めた場合、

[math] \begin{align} \operatorname{Tr}(\sigma_0) &= 2 \\ \det(\sigma_0) &= 1 \end{align} [/math]

である。

複素行列の展開

任意の2×2複素行列 A は単位行列を含むパウリ行列 σ_μ (μ=0,1,2,3) の線形結合として、次の形で書ける。

[math] A=s_0 I + s_ 1\sigma_1 + s_2 \sigma_2 + s_3 \sigma_3 = \sum_{\mu=0}^{3} s_{\mu} \sigma_{\mu} [/math]

ここで複素係数 s_μ は

[math] s_{\mu}= \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(A\sigma_\mu) \quad (\mu=0,1,2,3) [/math]

で与えられる。

また、任意の2×2エルミート行列 A は単位行列を含むパウリ行列の線形結合で書いたとき、係数 s_μ は実数になる。

部分偏極状態を表現するコヒーレンス行列はエルミート行列であるが、これをパウリ行列で展開した係数を要素とするベクトル(実ベクトル)はストークスベクトルと呼ばれる。ストークスベクトルは、ある種の射影空間であるポアンカレ球の座標系を作る。

指数関数

パウリ行列の性質

[math](\sigma_i)^2=I[/math]

から、その行列指数関数はオイラーの公式の類似である関係式

[math] e^{i a \sigma_i}= \cos{a} \, I + i \sin{a} \, \sigma_i \quad (a \in \mathbb{C})[/math]

を満たす。 さらに実ベクトル テンプレート:Vec=(a₁, a₂, a₃)∈R³ とパウリ行列の組 テンプレート:Vec=(σ₁, σ₂, σ₃) に対し、

[math] e^{i \vec{a} \cdot \vec{\sigma}}= \cos{|\vec{a}|} \, I + i \sin{|\vec{a}|} (\vec{n} \cdot \vec{\sigma}) [/math]

が成り立つ。但し、テンプレート:Vec は

[math] \vec{n}=\frac{1}{|\vec{a}|} (a_1, a_2, a_3) [/math]

で与えられる単位ベクトルである。

テンプレート:Vec が実ベクトルの場合、e^{i テンプレート:Vec⋅テンプレート:Vec} は2次特殊ユニタリ群 SU(2) の元となる。これはパウリ行列に虚数単位を乗じた iσ_k (k=1, 2, 3) が SU(2) に対応するリー代数 𝔰𝔲(2) の基底であることによる。

SU(2)の生成子

パウリ行列は行列式を１とする2×2ユニタリ行列がなす2次特殊ユニタリ群SU(2) に対応するリー代数 𝔰𝔲(2) の生成子である。パウリ行列に -i/2 を乗じた

[math] X_1=-\frac{i}{2}\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{i}{2} \\ -\frac{i}{2} & 0 \\ \end{pmatrix} [/math]

[math] X_2=-\frac{i}{2}\sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \\ \end{pmatrix} [/math]

[math] X_3=-\frac{i}{2}\sigma_3 = \begin{pmatrix} -\frac{i}{2} & 0 \\ 0 & \frac{i}{2} \\ \end{pmatrix} [/math]

は 𝔰𝔲(2) の基底であり、交換関係

[math] [X_1, X_2]=X_3, \, [X_2, X_3]=X_1, \, [X_3, X_1]=X_2[/math]

を満たす。𝔰𝔲(2) はトレースがゼロかつ反エルミート

[math] \operatorname{Tr}(X) = 0 [/math]

[math] X^{\dagger} = -X [/math]

である元 X から構成されるが、X₁, X₂, X₃ はこの性質を満たす。コンパクトで連結な線形リー群である SU(2) の任意の元は、リー環の指数写像によって、

[math] e^{\sum_{k=1}^3 t_k X_k} \quad (t_1,t_2, t_3 \in \mathbb{R})[/math]

の形で与えることができる。

スピン角運動量

"「スピン角運動量」"

量子力学において、パウリ行列はスピン1/2の角運動量演算子の表現に現れる。角運動量演算子 J₁、J₂、J₃ は交換関係

[math] [J_1, J_2]=i \hbar J_3, \, [J_2, J_3]=i \hbar J_1, \, [J_3, J_1]=i \hbar J_2[/math]

を満たす。但し、ℏ=h/2π は換算プランク定数である。エディントンのイプシロン ε_ijk を用いれば、この関係式は

[math] [J_i, J_j]=i \hbar \sum_{k=1}^{3} \epsilon_{ijk} J_k[/math]

と表すことができる。ここで、

[math] J_1^{\frac{1}{2}}=\frac{\hbar}{2}\sigma_1 = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} [/math]

[math] J_2^{\frac{1}{2}}=\frac{\hbar}{2}\sigma_2 = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{pmatrix} [/math]

[math] J_3^{\frac{1}{2}}=\frac{\hbar}{2} \sigma_3 = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix} [/math]

を導入すると、これらは上記の角運動量演算子の交換関係を満たしている。J₁、J₂、J₃ の交換関係はゼロではないため、同時に対角化できないが、この表現は J₃ を選び対角化している。J₃^1/2 の固有値は +ℏ/2, −ℏ/2 であり、スピン1/2の状態を記述する。

ガンマ行列の表現

"「ガンマ行列」"

パウリ行列はガンマ行列の特定の表現を構成するのに用いられる。ガンマ行列 γ^μ (μ=0, 1, 2, 3) は反交換関係

[math] \{ \gamma^\mu, \gamma^\nu \} = \gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu =2g^{\mu\nu} I [/math]

を満たすものとして、定義される。但し、I は単位元であり、g^μν(μ, ν=0,1,2,3) は4次元時空のミンコフスキー計量 g=(g^μν)=diag(+1,-1,-1,-1) である。 このとき、2×2単位行列 I₂ とパウリ行列により、4×4行列

[math] \gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \\ \end{pmatrix}, \, \gamma^j = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_j \\ -\sigma_j & 0 \\ \end{pmatrix} \quad (j=1,2,3) [/math]

を導入すると、これらは上記の反交換関係を満たし、ガンマ行列の表現を与える。これをガンマ行列のディラック表現と呼ぶ。これは次の直積に対する4×4行列表現である。

[math] \gamma^0 = \sigma_3 \otimes I_2, \, \gamma^j = i\sigma_2 \otimes \sigma_j \quad (j=1,2,3) [/math]

順時固有ローレンツ群とSL(2,C)

パウリ行列は順時固有ローレンツ群 L^↑₊ とその普遍被覆群である2次特殊線形群 SL(2, C) を対応づけるのに用いられる。ローレンツ群 L =O(3, 1) は一般線形群 GL(4, R) の元 Λ で4次元時空のミンコフスキー計量 g=(g_μν)=diag(+1,-1,-1,-1) (μ, ν=0, 1, 2, 3) に対し、Λ^TgΛ=g を満たし、ミンコフスキー内積を保つものから成る。

[math] L= \{ \Lambda \in GL(4, \mathbb{R})| \, \Lambda^Tg\Lambda=g \} [/math]

一方、順時固有ローレンツ群 L^↑₊=SO⁺(3, 1) はローレンツ群の連結な正規部分群であり、00成分と行列式の符号についての条件から

[math] L^{\uparrow}_{+}= \{ \Lambda \in L | \, \Lambda_{00} \geq 1, \det{\Lambda}=1 \} [/math]

として、定義される。ここで4元ベクトル x=(x⁰, x¹, x², x³) に対し、パウリ行列σ₀=I, テンプレート:Vec=(σ₁, σ₂, σ₃)により、2×2行列

[math] X=\sum_{\mu=0}^{3} \sigma_{\mu}x^{\mu}=x^0I+ \vec{x} \cdot \vec{\sigma} =\begin{pmatrix} x^0+x^3 & x^1+ix^2 \\ x^1-ix^2 & x^0-x^3 \\ \end{pmatrix}, [/math]

を導入する。その行列式は

[math] \det{X}=(x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2 [/math]

であり、ミンコフスキー内積 〈x, x〉 を与える。ここでSL(2, C) の元 A により、変換

[math]X' =AXA^{\dagger}[/math]

を定義すると、

[math] \det{X'}= \det{X} [/math]

であり、ミンコフスキー内積を保ち、順時固有ローレンツ変換 Λ(A) を与える。さらに、±Aは同じローレンツ変換 Λ(A)=Λ(−A) を与えることから、これは SL(2, C) から L^↑₊ への2対１の準同型写像を与える。その核は Z₂={±1}であり、群の同型対応

[math] SL(2, \mathbb{C})/\mathbb{Z}_2 \cong L^{\uparrow}_{+}[/math]

が成り立つ。

四元数の表現

パウリ行列によって、四元数の2×2行列表現を与えることができる。

[math] e_k= -i \sigma_k \quad (k=1,2,3)[/math]

を導入すると、関係式

[math] e_1^{\, 2} = e_2^{\, 2} =e_3^{\, 2} =-I [/math]

[math] e_1 e_2 = -e_2 e_1 = e_3, \, e_2 e_3 = -e_3 e_2 = e_1, \, e_3 e_1 = -e_1 e_3 = e_2 [/math]

を満たす。これは四元数の基底元 i, j, k が満たす関係式

[math] i^2 = j^2 =k^2 =-1 [/math]

[math] ij = -ji= k, \, jk = -kj = i, \, ki = -ik = j[/math]

と対応する。四元数環 H から複素行列環 Mat(2,C) へのR-線形写像

[math] a1+bi+cj+dk \mapsto aI+be_1+ce_2+de_3\ \quad (a,b,c,d \in \mathbb{R}) [/math]

は和と積と保ち、四元数の2×2行列表現を与える。この像は

[math] M= \left \{ \begin{pmatrix} a-di & -(c+bi) \\ c-bi & a+di \\ \end{pmatrix} | a,b, c, d \in \mathbb{R} \right \} = \left \{ \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ -\bar{\beta} & \bar{\alpha} \\ \end{pmatrix} | \alpha, \beta \in \mathbb{C} \right \} [/math]

であり、H と M はR-多元環として同型である。

参考文献

• 猪木慶治、 川合光 『量子力学I』 講談社 (1994) ISBN 978-4061532090
• 佐藤光 『物理数学特論 群と物理 (パリティ物理学コース)』 丸善（1992） ISBN 978-4621037874
• 平井武、山下博 『表現論入門セミナー ―具体例から最先端にむかって』 遊星社（2003）ISBN 978-4795268982
• J.J Sakurai and Jim Napolitano, Modern Quantum Mechanics (2nd edition), Addison Wesley (2010) ISBN 978-0805382914

関連項目

• ヴォルフガング・パウリ
• ガンマ行列
• 四元数