ハルトークスの拡張定理
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多変数複素函数論では、ハルトークスの拡張定理(Hartogs' extension theorem)は、多変数正則函数の特異点の定理である。非公式には、そのような函数の特異点の台はコンパクトではないので、多変数複素函数の特異集合は、ある方向に無限まで続いていなけらばならないということもできる。詳しくは、孤立特異点と除去可能特異点の考え方は、n > 1 の多変数の複素変数の解析函数と一致するということが、ハルトークスの定理である。この定理の最初のバージョンは、フリードリヒ・ハルトークス(Friedrich Hartogs)により証明され[1] ハルトークスの定理は「ハルトークスの補題」や「ハルトークスの原理」としても知られている。初期のソ連の文献には、[2] この定理は、オズグッド・ブラウンの定理(Osgood-Brown theorem)とも呼ばれ、後日のウィリアム・フォッグ・オズグッド(William Fogg Osgood)とアーサー・バートン・ブラウン(Arthur Barton Brown)の仕事としても知られている[3]。この多変数の正則函数の性質は、ハルトークス現象(Hartogs' phenomenon)とも呼ばれる、しかし、「ハルトークス現象」という言い方は、偏微分方程式系や畳み込み作用素の解の性質でハルトークスタイプの定理を満たす場合に同じようにも使われる[4]。
Contents
歴史的な話題
元々の証明は1906年のフリードリッヒ・ハルトークスにより与えられ、コーシーの積分公式を多変数複素函数に適用して証明された[1]。現在は、通常、ボホナー・マルティエリ・コッペルマンの公式(Bochner–Martinelli–Koppelman formula)か、コンパクトな台を持つ非同次コーシー・リーマンの方程式の解に依拠して証明される。コーシー・リーマンの方程式のアプローチは、レオン・エーレンプライス(Leon Ehrenpreis)によりなされ、彼の論文 {{#invoke:Footnotes | harvard_citation }} となった。もうひとつの非常に単純な証明は、論文{{#invoke:Footnotes | harvard_citation }} により、多変数の正則函数のディリクレ問題の解を使い、ガエターノ・フィチェーラ(Gaetano Fichera)により与えられた[5]。後日、彼はこの定理を論文 {{#invoke:Footnotes | harvard_citation }} で偏微分方程式のあるクラスへ拡張し、このアイデアは、さらに後日、ギウリアーノ・バラッティにより大きく拡張された[6]。また、金子晃らの偏微分作用素(partial differential operator)の日本での研究も、この分野に大きく寄与している[7]。彼らのアプローチは、エーレンプライスの基本原理(Ehrenpreis' fundamental principle)を使う。
ハルトークス現象
一変数で成立するが多変数では成り立たない現象をハルトークス現象(Hartogs' phenomenon)という。この現象は、このハルトークスの拡張定理や正則領域の考え方、ひいては多変数複素函数論の発展を導いた。
2変数の場合を例にとると、[math]0 \lt \varepsilon \lt 1[/math] として、二重円板 [math]\Delta^2=\{z\in\mathbb{Z};|z_1|\lt 1,|z_2|\lt 1\}[/math] の内部領域
- [math]H_\varepsilon = \{z=(z_1,z_2)\in\Delta^2:|z_1|\lt \varepsilon\ \ \text{or}\ \ 1-\varepsilon\lt |z_2|\}[/math]
を考える。
定理 Hartogs (1906): [math]H_\varepsilon[/math] 上の任意の正則函数 [math]f[/math] は [math]\Delta^2[/math] へ解析接続される。すなわち、[math]\Delta^2[/math] 上の正則函数 [math]F[/math] が存在し、[math]H_\varepsilon[/math] 上で [math]F=f[/math] となる。
実際、コーシーの積分公式を使い、拡張された函数 [math]F[/math] 得ることができる。すべての正則函数は多重円板へ解析接続できて、多重円板はもとの正則函数が定義された領域よりも真に広くなる。このような現象は、一変数では決して起きない現象である。
次元 1 のときの反例
このハルトークスの拡張定理は n = 1 のときには成り立たない。次元 1 でこの定理が成り立たないことを示すには、函数 f(z) = z−1 を考えれば充分である。この函数は明らかに C\{0} の中では正則であることは明らかであるが、C 全体上の正則函数として連続ではない。この現象をハルトークス現象というが、一変数と多変数の函数論の間の差異の一つを示している。
脚注
- ↑ 1.0 1.1 原論文であるHartogs (1906) やOsgood (1963, pp. 56–59), Severi (1958, pp. 111–115), Struppa (1988, pp. 132–134) による様々な歴史的研究報告を参照。特に、最後の参考文献の p. 132 では、「筆者により「{{#invoke:Footnotes | harvard_citation }} のタイトルで明確に指摘されているように、また読者もすぐに分かるが、証明のためのキーとなるツールはコーシーの積分公式である。」と記載されている。
- ↑ たとえば、Vladimirov (1966, p. 153) を参照。この文献では、読者に証明のためには書籍 Fuks (1963, p. 284) を紹介している。（しかし、前者の文献では、p 324 の証明は正しくない。
- ↑ See Brown (1936) and Osgood (1929).
- ↑ See Fichera (1983) and Bratti (1986a) {{#invoke:Footnotes | harvard_citation }}.
- ↑ フィチェーラの証明は、画期的な論文 {{#invoke:Footnotes | harvard_citation }} は、多変数複素函数論の多くの専門家によるオーバービューが与えられているように思える。Range (2002) では、この分野の他の重要な定理の正しい役割が記載されている。
- ↑ See Bratti (1986a) {{#invoke:Footnotes | harvard_citation }}.
- ↑ {{#invoke:Footnotes | harvard_citation }} や、そこにある文献を参照。
歴史的な参考文献
- Fuks, B. A. (1963), Introduction to the Theory of Analytic Functions of Several Complex Variables, Translations of Mathematical Monographs, 8, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. vi+374, MR 0168793, Zbl 0138.30902.
- Osgood, William Fogg (1966) [1913], Topics in the theory of functions of several complex variables (unabridged and corrected ed.), New York: Dover, pp. IV+120, JFM 45.0661.02, MR 0201668, Zbl 0138.30901.
- Range, R. Michael (2002), “Extension phenomena in multidimensional complex analysis: correction of the historical record”, The Mathematical Intelligencer 24 (2): 4–12, doi:10.1007/BF03024609, MR 1907191. An historical paper correcting some inexact historical statements in the theory of holomorphic functions of several variables, particularly concerning contributions of Gaetano Fichera and Francesco Severi.
- Severi, Francesco (1931), “Risoluzione del problema generale di Dirichlet per le funzioni biarmoniche” (Italian), Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, series 6, 13: 795–804, JFM 57.0393.01, Zbl 0002.34202. This is the first paper where a general solution to the Dirichlet problem for pluriharmonic functions is solved for general real analyitic data on a real analytic hypersurface. A translation of the title reads as:-"Solution of the general Dirichlet problem for biharmonic functions".
- Severi, Francesco (1958) (Italian), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse – Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica in Roma, Padova: CEDAM – Casa Editrice Dott. Antonio Milani, Zbl 0094.28002. A translation of the title is:-"Lectures on analytic functions of several complex variables – Lectured in 1956–57 at the Istituto Nazionale di Alta Matematica in Rome". This book consist of lecture notes from a course held by Francesco Severi at the Istituto Nazionale di Alta Matematica (which at present bears his name), and includes appendices of Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza and Mario Benedicty.
- Struppa, Daniele C. (1988), “The first eighty years of Hartogs' theorem”, Seminari di Geometria, 1987–1988, Bologna: Università degli Studi di Bologna, pp. 127–209, MR 0973699, Zbl 0657.35018.
- Vladimirov, V. S. (1966), Ehrenpreis, L., ed., Methods of the theory of functions of several complex variables. With a foreword of N.N. Bogolyubov, Cambridge-London: The M.I.T. Press, pp. XII+353, MR 0201669, Zbl 0125.31904 (Zentralblatt review of the original Russian edition). One of the first modern monographs on the theory of several complex variables, being different from other ones of the same period due to the extensive use of generalized functions.
参考文献
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- Bochner, Salomon (March 1, 1952), “Partial Differential Equations and Analytic Continuations”, PNAS 38 (3): 227–230, doi:10.1073/pnas.38.3.227, MR 0050119, Zbl 0046.09902.
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- Bratti, Giuliano (1988), “Su di un teorema di Hartogs” (Italian), Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova 79: 59–70, MR 964020, Zbl 0657.46033. An English translation of the title reads as:-"On a theorem of Hartogs".
- Brown, Arthur B. (1936), “On certain analytic continuations and analytic homeomorphisms”, Duke Mathematical Journal 2: 20–28, doi:10.1215/S0012-7094-36-00203-X, JFM 62.0396.02, MR 1545903, Zbl 0013.40701
- Ehrenpreis, Leon (1961), “A new proof and an extension of Hartog's theorem”, Bulletin of the American Mathematical Society 67: 507–509, doi:10.1090/S0002-9904-1961-10661-7, MR 0131663, Zbl 0099.07801. A fundamental paper in the theory of Hrtogs' phenomenon. The typographical error in the title is reproduced in as it is appears in the original version of the paper.
- Fichera, Gaetano (1957), “Caratterizzazione della traccia, sulla frontiera di un campo, di una funzione analitica di più variabili complesse” (Italian), Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, series 8, 22 (6): 706–715, MR 0093597, Zbl 0106.05202. An epoch-making paper in the theory of CR-functions, where the Dirichlet problem for analytic functions of several complex variables is solved for general data. A translation of the title reads as:-"Characterization of the trace, on the boundary of a domain, of an analytic function of several complex variables".
- Fichera, Gaetano (1983), “Sul fenomeno di Hartogs per gli operatori lineari alle derivate parziali” (Italian), Rendiconti dell' Istituto Lombardo di Scienze e Lettere. Scienze Matemàtiche e Applicazioni, Series A. 117: 199–211, MR 0848259, Zbl 0603.35013. An English translation of the title reads as:-"Hartogs phenomenon for certain linear partial differential operators".
- Fueter, Rudolf (1939–1940), “Über einen Hartogs'schen Satz” (German), Commentarii Mathematici Helvetici 12 (1): 75–80, doi:10.5169/seals-12795, JFM 65.0363.03, Zbl 0022.05802. Available at the SEALS Portal. An English translation of the title reads as:-"On a theorem of Hartogs".
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- Osgood, W. F. (1929) (German), Lehrbuch der Funktionentheorie. II, Teubners Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiet der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, Bd. XX - 1 (2nd ed.), Leipzig: B. G. Teubner, pp. VIII+307, JFM 55.0171.02
- Severi, Francesco (1932), “Una proprietà fondamentale dei campi di olomorfismo di una funzione analitica di una variabile reale e di una variabile complessa” (Italian), Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, series 6, 15: 487–490, JFM 58.0352.05, Zbl 0004.40702. An English translation of the title reads as:-"A fundamental property of the domain of holomorphy of an analytic function of one real variable and one complex variable".
- Severi, Francesco (1942–1943), “A proposito d'un teorema di Hartogs” (Italian), Commentarii Mathematici Helvetici 15 (1): 350–352, doi:10.5169/seals-14897, MR 0010730, Zbl 0028.15301. Available at the SEALS Portal. An English translation of the title reads as:-"About a theorem of Hartogs".