ハウスホルダー変換

ハウスホルダー変換（ハウスホルダーへんかん、英: Householder transformation）は直交変換の一種であり、行列のQR分解に用いられる。鏡映変換、基本直交変換ともいう。ハウスホルダーが1958年に発表した。

定義

n 次元ユークリッド空間のノルムが等しい相異なる2つの（列）ベクトル x, y に対し、変換

[math]z \mapsto \left(I-\frac{2(x-y)(x-y)^\mathrm{T} }{\|x-y\|^2}\right) z[/math]

は x を y に、y を x に移すような、ベクトルのノルムを変えない線形変換（直交変換）になっている。ただし、 I は n 次単位行列である。一般に、非零ベクトル u に対し行列

[math]H = I-\frac{2uu^\mathrm{T} }{\|u\|^2}[/math]

を u に関するハウスホルダー行列といい、H で表される線形変換をハウスホルダー変換あるいは鏡映という。これは u に直交する超平面に関する鏡映を表す。

上の式で [math]uu^\mathrm{T} [/math] となっている部分は、ベクトル [math]z[/math] に作用させるときには内積により [math]uu^\mathrm{T} z = u (u, z)[/math] となることに注意。行列の具体的な成分については鏡映を参照のこと。

性質

ハウスホルダー行列 [math]H[/math] の転置行列は [math]H^\mathrm{T}=H^{-1}=H[/math] を満たすので対称行列かつ直交行列、ユニタリ行列である。これらの性質から [math]H^2=I[/math] となるのでハウスホルダー変換は対合である。幾何的には鏡映を2回繰り返すと元に戻ることに対応している。

QR分解の計算にハウスホルダー変換が使われることがある。

参考文献

• Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339–342. DOI:10.1145/320941.320947

関連項目

• 鏡映
• 直交行列
• QR分解

外部リンク

• Laurie, Dirk; Weisstein, Eric W.. “Householder Matrix”. MathWorld（英語）.
• Householder transformation - PlanetMath.（英語）