トゥシャール多項式

数学において、テンプレート:Harvs によって研究されたトゥシャール多項式（トゥシャールたこうしき、英: Touchard polynomials）あるいは指数多項式（exponential polynomials） とは、次で定義される二項型の多項式列のことを言う。

[math]T_0(x) = 1,\qquad T_n(x)=\sum_{k=1}^n S(n,k)x^k=\sum_{k=1}^n \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}x^k, \quad n \gt 0.[/math]

ただし S(n, k) は第二種スターリング数、すなわちサイズが n の集合を k 個の互いに素な空でない集合に分割する組合せの数を表す（上の第二式に現れる大括弧の記号 { } はドナルド・クヌースによって導入された）。n次トゥシャール多項式の 1 における値は n 番目のベル数、すなわち、サイズ n の集合を分割する組合せの数である。すなわち

[math]T_n(1)=B_n[/math]

である。

X を、期待値が λ であるようなポアソン分布を伴う確率変数とすると、その n 次モーメントは E(Xⁿ) = T_n(λ) で、次が定義される。

[math]T_{n}(x)=e^{-x}\sum_{k=0}^\infty \frac {x^k k^n} {k!}.[/math]

この事実より、この多項式列は二項型であることが直ちに示される。すなわち、次の等式が成り立つ。

[math]T_n(\lambda+\mu)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} T_k(\lambda) T_{n-k}(\mu).[/math]

トゥシャール多項式は、すべての多項式の第一次数の項の係数が 1 であるような二項型の多項式列のみを作る。

[math]T_{n+1}(x)=x\sum_{k=0}^n{n \choose k}T_k(x).[/math]

トゥシャール多項式は、ロドリゲスの公式に似た次の公式を満たす。

[math]T_n \left(e^x \right) = e^{-e^x} \frac{d^n}{dx^n}\left(e^{e^x}\right)[/math]

トゥシャール多項式は、次の漸化式

[math]T_{n+1}(x)=x \left(1+\frac{d}{dx} \right)T_{n}(x)[/math]

および

[math]T_{n+1}(x)=x\sum_{k=0}^n{n \choose k}T_k(x)[/math]

を満たす。x = 1 の場合、これはベル数に対する漸化式に帰着される。

陰記法 Tⁿ(x)=T_n(x) を用いることで、これらの公式は次のようになる。

[math]T_n(\lambda+\mu)=\left(T(\lambda)+T(\mu) \right)^n .[/math]

[math]T_{n+1}(x)=x \left(1+T(x) \right)^n.[/math]

トゥシャール多項式の母関数は

[math]\sum_{n=0}^\infty {T_n(x) \over n!} t^n=e^{x\left(e^t-1\right)}[/math]

である。これは第二種スターリング数の母関数に対応し、 においては指数多項式と呼ばれている。周回積分の表現を使えば

[math]T_n(x)=\frac{n!}{2\pi i}\oint\frac{e^{x({e^t}-1)}}{t^{n+1}}\,dt[/math]

となる。トゥシャール多項式（そして関連するベル数）は、上の積分の実部を用いて、非整数次の次の形に一般化することが出来る。

[math]T_n(x)=\frac{n!}{\pi} \int^{\pi}_0 e^{x \bigl(e^{\cos(\theta)} \cos(\sin(\theta))-1 \bigr)} \cos \bigl(x e^{\cos(\theta)} \sin(\sin(\theta)) -n\theta) \, \mathrm{d}\theta [/math]

参考文献

• Touchard, Jacques (1939), “Sur les cycles des substitutions”, Acta Mathematica 70 (1): 243–297, doi:10.1007/BF02547349, ISSN 0001-5962, MR 1555449