ディガンマ関数

ファイル:Digamma function.png

実数x に対するψ(x)の挙動

ファイル:Complex Polygamma 0.jpg

複素平面上でのψ(z )。点z における色が ψ(z) の値を表しており、濃いほど 0 に近い。色調はその値の偏角を表す。

数学において、ディガンマ関数（でぃがんまかんすう、英: digamma function）とはガンマ関数の対数微分で定義される特殊関数。ポリガンマ関数の一種である。

定義

ガンマ関数 Γ(z) に対し、その対数微分

[math] \psi(z) = \frac{d}{dz} \ln{\Gamma(z)} = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} [/math]

をディガンマ関数と呼ぶ。

ディガンマ関数はz = 0, −1, −2, ... で1位の極をもち，それらの点を除く全複素平面では解析的になる。

基本的性質

ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示

[math] \frac{1}{\Gamma(z)}=\lim_{n \to \infty} \frac{z(z+1)\cdots(z+n)}{n^z n!} [/math]

を対数微分することで、ディガンマ関数における

[math] \psi(z)=\lim_{n \to \infty} \left \{ \ln{n}-\frac{1}{z}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{z+k} \right \} [/math]

という表示を得る。特にz　=1とすれば、特殊値

[math] \psi(1)=\lim_{n \to \infty} \left \{ \ln{n}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \right \} =-\gamma [/math]

を得る。但し、γ =0.5772...はオイラーの定数である。

また、ディガンマ関数は次の漸化式を満たす。

[math] \psi(z+1) = \psi(z) + \frac{1}{z} [/math]

この関係式から、一般に

[math] \psi(z+n) = \psi(z) +\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{z+k-1} [/math]

であり、特に z =1とすれば、特殊値

[math] \psi(n+1) = -\gamma +\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} [/math]

が得られる。

級数表示

ディガンマ関数とその導関数はz ≠0, -1, -2, -3...で次の級数表示を持つ。

[math] \psi(z) = -\gamma -\sum_{n=0}^{\infty} \biggl ( \frac{1}{z+n} - \frac{1}{n+1} \biggr ) = -\gamma +\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z-1}{(n+1)(z+n)} [/math]

[math] \psi^{(k)}(z) = (-1)^{k+1} k! \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(z+n)^{k+1}} [/math]

これらの級数は、ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示

[math] \frac{1}{\Gamma(z)}= z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty} \biggl ( 1+ \frac{z}{n} \biggr ) e^{-z/n} [/math]

の対数微分から導かれるものである、

また、z =0でのテイラー展開により、|z |<1の領域で次のように級数表示される。

[math] \psi(z+1) = -\gamma +\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \zeta(n) z^{n-1} [/math]

ただし、ζ(n )はリーマンゼータ関数を表す。

積分表示

Rez > 0のとき、ディガンマ関数は次の積分表示を持つ。

• [math] \psi(z) = \int_{0}^{\infty} \biggl ( e^{-s}-\frac{1}{(1+s)^z} \biggr) \frac{ds}{s} [/math]

• [math] \psi(z) = \int_{0}^{\infty} \biggl ( \frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-zs}}{1-e^{-s}} \biggr) ds [/math]

• [math] \psi(z) = -\gamma + \int_{1}^{\infty} \frac{s^{z-1}-1}{s^z (s-1)} ds [/math]

• [math] \psi(z+1) = \ln{z}-\frac{1}{2z} - \int_{0}^{\infty} \biggl ( \frac{1}{2} \operatorname{coth} \frac{s}{2}- \frac{1}{s} \biggr ) e^{-zs} ds [/math]

但し、coths/2 は双曲線余接関数を表す。

また、ディガンマ関数同士の差について、以下が成り立つ。

• [math] \psi(y) -\psi(x) = \int_{0}^{1} \frac{u^{x-1}-u^{y-1}}{1-u} du [/math]

相反公式

ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。

[math] \psi(1-z)-\psi(z) = \pi \operatorname{cot} \pi z [/math]

但し、cot πz は余接関数を表す。

漸近展開

z →∞　(|argz | < π)のとき、ディガンマ関数は次の漸近展開をもつ。

[math] \begin{align} \psi(z) & \sim \ln{z}- \frac{1}{2z}- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n}}{2nz^{2n}} \\ & = \ln{z}- \frac{1}{2z}- \frac{1}{12z^2}+ \frac{1}{120z^4}- \frac{1}{252z^6} +\cdots \end{align} [/math]

但し、B_2nはベルヌーイ数である。

特殊値

ディガンマ関数は、正の整数において、次の値をとる。

• [math] \psi(1) = -\gamma [/math]

• [math] \psi(n) = -\gamma + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k} = -\gamma + H_{n-1} \qquad (n = 2,3,4, \cdots) [/math]

但し、H_n-1は調和数を表す。

また、正の半整数において、次の値をとる。

• [math] \psi(1/2) = -\gamma -2 \ln{2} [/math]

• [math] \psi(n+1/2) = -\gamma -2 \ln{2} + 2 \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2k+1} \qquad (n = 1,2,3, \cdots) [/math]

参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover (1965) ISBN 978-0486612720
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press (1927; reprinted 1996) ISBN 978-0521588072
• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, Academic Press; ジョージ．ブラウン・アルフケン、ハンス．J・ウェーバー (著)、 権平健一郎、神原武志、小山直人 (翻訳) 『基礎物理数学第4版Vol．3　特殊関数』 講談社 (2001) ISBN 978-4061539792

関連項目

• ガンマ関数
• ポリガンマ関数