シルベスター行列

シルベスター行列（シルベスターぎょうれつ、Sylvester matrix）とは、2つの多項式が共通根を持つか否かを判定する行列である。

概要

2つの多項式を以下のようにする。

f(x)=a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + … + a_n−1x + a_n
g(x)=b₀x^m + b₁x^m−1 + … + b_m−1x + b_m

このとき、(m + n) 個の変数をもつ連立方程式

[math]\begin{cases} a_0 x_0 + a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n &= 0\\ \quad\qquad a_0 x_1 + \cdots + a_{n-1} x_n + a_n x_{n+1}\quad &= 0\\ \quad\qquad\qquad\qquad\qquad\cdots\cdots & \\ \qquad\qquad\qquad a_0 x_{m-1} + a_1 x_m + \cdots\cdots + a_n x_{m+n-1} &= 0\\ b_0 x_0 + b_1 x_1 + \cdots\cdots + b_m x_m &= 0\\ \quad\qquad b_0 x_1 + \cdots\cdots + b_{m-1} x_m + b_m x_{m+1} &= 0\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\cdots\cdots & \\ \quad\qquad\qquad b_0 x_{n-1} + b_1 x_n + \cdots\cdots\cdots + b_m x_{m+n-1} &= 0 \end{cases}[/math]

が自明でない解 x_k = α^m+n−1−k (0 ≤ k ≤ m + n − 1) を持つことと、f, g が共通根 α を持つこととが同値である。この連立方程式の係数行列であるシルベスター行列は以下に示される (m + n) 次の正方行列である。

[math] \begin{pmatrix} a_{0} & a_{1} & \quad & \cdots & a_{n} & & & \\[5pt] & a_{0} & a_{1} & \quad & \cdots & a_{n} & & 0 \\[5pt] 0 & & \ddots & \ddots & & & \ddots & \\[5pt] & & & a_{0} & a_{1} & \quad & \cdots & a_{n} \\[5pt] b_{0} & b_{1} & \cdots & \quad & b_{m} & & & \\[5pt] & b_{0} & b_{1} & \cdots & \quad & b_{m} & & 0 \\[5pt] 0 & & \ddots & \ddots & & & \ddots & \\[5pt] & & & b_{0} & b_{1} & \cdots & \quad & b_{m} \end{pmatrix} [/math]

また、この行列の行列式を R(f,g) と表し、終結式（しゅうけつしき、resultant; リザルタント）またはシルベスター行列式と言う。

[math]f(x) = a_0 \prod_{i=1}^{\deg f} (x - \alpha_i),\quad g(x) = b_0 \prod_{j=1}^{\deg g}( x - \beta_j)[/math]

と因数分解するとき、

[math]R(f,g) = a_0^{\deg g} b_0^{\deg f} \prod_{1\le i\le \deg f,1\le j\le \deg g} (\alpha_i - \beta_j)[/math]

[math]R(cf,g) = c^{\deg g}R(f,g),\quad R(f,cg) = c^{\deg f}R(f,g)[/math]

f(x) と g(x) が共通根をもつための必要十分条件は R(f,g) = 0 である。多項式 f(x)=a₀xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + … + a_n−1x + a_n が重根をもつための必要十分条件は f とその導多項式 f′ が共通根を持つことであり、また、f の判別式 D(f) が 0 となることであるから、終結式と判別式とは互いに関係がある。事実として

[math]a_0 D(f) = (-1)^{n(n-1)/2}R(f,f')[/math]