ゲーゲンバウアー多項式
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数学において、ゲーゲンバウアー多項式（ケーゲンバウアーたこうしき、英: Gegenbauer polynomials）または超球多項式 (ultraspherical polynomials) [math]C_n^{(\alpha)}(x)[/math] とは、レオポルド・ベルンハルト・ゲーゲンバウアー (1849–1903) にちなんで命名された、区間 [math][-1,1][/math] 上で定義される重み関数 [math](1-x^2)^{\alpha-1/2}[/math] の直交多項式をいう。ゲーゲンバウアー多項式は、ルジャンドル多項式及びチェビシェフ多項式の一般事例であり、ヤコビ多項式の特殊事例である。
性質
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α =1 の場合のゲーゲンバウアー多項式
- Mplwp gegenbauer Cn05a2.svg
α =2 の場合のゲーゲンバウアー多項式
- Mplwp gegenbauer Cn05a3.svg
α =3 の場合のゲーゲンバウアー多項式
- 次の母関数により定義される：
- [math] \begin{align} \frac{1}{(1-2xt+t^2)^\alpha} &= \sum_{n=0}^\infty C_n^{(\alpha)}(x) t^n \\ \frac{1-xt}{(1-2xt+t^2)^{\alpha+1}} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{n+2\alpha}{2\alpha} C_n^{(\alpha)}(x) t^n \end{align} [/math]
- 次の漸化式を満たす：
- [math] \begin{align} C_0^{(\alpha)}(x) & = 1 \\ C_1^{(\alpha)}(x) & = 2 \alpha x \\ C_n^{(\alpha)}(x) & = \frac{1}{n}\left[2x(n+\alpha-1)C_{n-1}^{(\alpha)}(x) - (n+2\alpha-2)C_{n-2}^{(\alpha)}(x)\right] \end{align} [/math]
- 次の常微分方程式（ゲーゲンバウアーの微分方程式）を満たす：
- [math](1-x^{2})y''-(2\alpha+1)xy'+n(n+2\alpha)y=0[/math]
- ロドリゲスの公式により次のように導出できる：
- [math]C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{(-2)^n}{n!}\frac{\Gamma(n+\alpha)\Gamma(n+2\alpha)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(2n+2\alpha)}(1-x^2)^{-\alpha+1/2}\frac{d^n}{dx^n}\left[(1-x^2)^{n+\alpha-1/2}\right][/math]
- 次の直交関係を満たす：
- [math]\int_{-1}^{1}C_n^{(\alpha)}(x)C_m^{(\alpha)}(x)(1-x^2)^{\alpha-\frac{1}{2}}\,dx = \frac{\pi 2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)[\Gamma(\alpha)]^2}\delta_{nm}[/math]
- [math]C_n^{(\alpha)}(\cos\theta) = \sum_{r=0}^{\infty}\frac{\Gamma(\alpha+r)\Gamma(n+\alpha-r)}{r!(n-r)![\Gamma(\alpha)]^2}\cos(2r-n)\theta[/math]
- [math]\alpha=1/2[/math] の場合がルジャンドル多項式に、[math]\alpha=1[/math] の場合が第二種チェビシェフ多項式に相当する。
参考文献
- 『岩波数学公式 Ⅲ』、1987、新装版。ISBN 4-00-005509-7。
- (1965-06-01) in Milton Abramowitz; Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions: with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Books on Mathematics. Dover Publications. ISBN 0-486-61272-4.
- Weisstein, Eric W. “Gegenbauer Polynomial”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。