カラツバ法

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カラツバ法（カラツバほう）とは、主に多倍長乗算の乗算アルゴリズム（English版）において、乗算の回数を4分の3にするアルゴリズムである。 加減算の回数は増加するが、乗算コストはそれより遥かに大きいため、結果として演算コストそのものもほぼ4分の3となる。 発見者のAnatolii Alexeevitch Karatsuba（Карацуба Анатолий Алексеевич）の名前を取ってKaratsuba法(Karatsuba-algorithm)、あるいは単にKaratsubaとも呼ばれる。

従来の乗算は[math]O(n^2)[/math]だったが、Karatsuba法の再帰的適用により、[math]O(n^{\log_23})[/math]（[math]\log_23[/math]≒1.585）まで計算コストが抑えられる。

アルゴリズム

単純な例として、被乗数[math]X[/math]と乗数[math]Y[/math]の積[math]Z[/math]を求める([math]Z = X \times Y[/math])。 まず、被乗数[math]X[/math]と乗数[math]Y[/math]をそれぞれ上位・下位の2つに分割する。 分割の基数を[math]b[/math]（例えば3桁ずつに分割するなら[math]b:=1000[/math]）とすると、

[math]X := x_1 \cdot b + x_0[/math]
[math]Y := y_1 \cdot b + y_0[/math]
[math]Z := z_2 \cdot b^2 + z_1 \cdot b + z_0[/math]

この乗算をKaratsuba以前の方法（Long multiplication）で行うと、乗算を4回行うことになる。

[math]z_2 := x_1 \times y_1[/math]
[math]z_0 := x_0 \times y_0[/math]
[math]z_1 := x_1 \times y_0 + x_0 \times y_1[/math]

Karatsubaの方法では、乗算を3回で済ませられる。

[math]z_1 := z_2 + z_0 - (x_1 - x_0) \times (y_1 - y_0)[/math]

計算例

[math]X=32,463[/math] [math](x_1:=32, x_0:=463)[/math]、 [math]Y=38,030[/math] [math](y_1:=38, y_0:= 30)[/math]、[math]b=1000[/math] とすると、

[math]z_2:=x_1 y_1=1216[/math]
[math]z_0:=x_0 y_0=13890[/math]
[math]z_1:=z_2+z_0-(x_1-x_0)(y_1-y_0)=1216+13890-(-431)(8)=18554[/math]
[math]Z=1216 b^2 + 18554 b + 13890 = 1,216,000,000 + 18,554,000 + 13,890 = 1,234,567,890[/math]

関連項目



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