エルミート多様体

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数学では、エルミート多様体（英語: Hermitian manifold）はリーマン多様体の複素類似である。より詳しく述べると、エルミート多様体は各々の（正則）接空間上に滑らかに変化するエルミート内積をもつ複素多様体である。また、エルミート多様体を複素構造を保つリーマン計量を持つ実多様体として定義することもできる。

複素構造は、本質的には可積分条件をもつ概複素構造であり、この条件は多様体上にユニタリ構造（U(n)-構造（English版）(U(n) structure))をもたらす。可積分条件を落とすと、概エルミート多様体を得る。

任意の概エルミート多様体上に、計量と概複素構造の選択にしか依存しない基本 2-形式(fundamental 2-form)、もしくはコシンプレクティック構造(cosymplectic structure)を導入することができる。基本形式は常に非退化である。これが閉形式である（こすなわちシンプレクティック形式である）という追加の可積分条件を課すことにより、概ケーラー構造(almost Kähler structure)を得る。もし概複素構造と基本形式の両方が積分可能であれば、 ケーラー構造を持つ。

形式的定義

滑らかな多様体(smooth manifold) [math]M[/math] 上の複素ベクトルバンドル [math]E[/math] におけるエルミート計量(Hermitian metric)は、各々のファイバー上で滑らかに変化する正定値エルミート形式である。そのような計量は滑らかな切断

[math]h \in \Gamma(E\otimes\bar E)^*[/math]

であって、[math]E_p[/math] の任意の元 [math]\zeta,\eta[/math] に対し

[math]h_p(\eta, \bar\zeta) = \overline{h_p(\zeta, \bar\eta)}[/math]

であり、[math]E_p[/math] の任意の 0 でない元 [math]\zeta[/math] に対し

[math]h_p(\zeta,\bar\zeta) \gt 0[/math]

を満たすような切断として表すことができる。

エルミート多様体(Hermitian manifold)は、その正則接空間（English版）(holomorphic tangent space)上にエルミート計量を持つ複素多様体である。同様に、概エルミート多様体(almost Hermitian manifold)は、その正則接空間上にエルミート計量を持つ概複素多様体である。

エルミート多様体上では、計量は正則局所座標 [math](z^\alpha)[/math] を用いて

[math]h = h_{\alpha\bar\beta}\,dz^\alpha\otimes d\bar z^\beta[/math]

と表わされる。ここに [math]h_{\alpha\bar\beta}[/math] は正定値エルミート行列の成分である。

リーマン計量と随伴形式

（概）複素多様体 [math]M[/math] 上のエルミート計量 [math]h[/math] は、基礎となっている滑らかな多様体上にリーマン計量 [math]g[/math] を定義する。計量 [math]g[/math] は [math]h[/math] の実部

[math]g = {1\over 2}(h+\bar h)[/math]

で定義される。

形式 [math]g[/math] は複素化された（English版）(complexified)接バンドル [math]TM^\mathbf{C}[/math] 上の対称双線型形式である。[math]g[/math] は自身の共役と等しいので、[math]TM[/math] 上の実形式の複素化となる。[math]TM[/math] 上での [math]g[/math] の対称性と正定値性は、対応する [math]h[/math] の性質から従う。局所正則座標では、計量 [math]g[/math] は

[math]g = {1\over 2}h_{\alpha\bar\beta}\,(dz^\alpha\otimes d\bar z^\beta + d\bar z^\beta\otimes dz^\alpha)[/math]

と表わすことができる。

[math]h[/math] には次数 (1,1) の複素微分形式 [math]\omega[/math] を付随させることもできる。形式 [math]\omega[/math] は [math]h[/math] の虚部のマイナス1倍

[math]\omega = {i\over 2}(h-\bar h)[/math]

として定義される。再び、[math]\omega[/math] はその共役と等しいので、これは [math]TM[/math] 上の実形式の複素化である。形式 [math]\omega[/math] は、随伴 (1,1)-形式(associated (1,1) form)、基本形式(fundamental form)、あるいはエルミート形式(Hermitian form)と様々な呼ばれ方をする。局所正則座標では、[math]\omega[/math] は

[math]\omega = {i\over 2}h_{\alpha\bar\beta}\,dz^\alpha\wedge d\bar z^\beta[/math]

と表わされる。

座標表現から明らかなように、3つの形式 [math]h[/math]、[math]g[/math]、[math]\omega[/math] のうち1つが与えられれば、他の2つも一意に定まる。リーマン計量 [math]g[/math] と付随する形式 [math]\omega[/math] とは概複素構造 [math]J[/math] により次のように関係している: すべての複素接ベクトル [math]u[/math] と [math]v[/math] に対し、

[math]\begin{align}\omega(u,v) &= g(Ju,v),\\ g(u,v) &= \omega(u,Jv).\end{align}[/math]

エルミート計量 [math]h[/math] は [math]g[/math] と [math]\omega[/math] から等式

[math]h = g - i\omega[/math]

によって復元できる。3つの形式 [math]h[/math]、[math]g[/math]、[math]\omega[/math] は概複素構造 [math]J[/math] を保つ。すなわち、すべての複素接ベクトル [math]u[/math] と [math]v[/math] に対し、

[math]\begin{align} h(Ju,Jv) &= h(u,v) \\ g(Ju,Jv) &= g(u,v) \\ \omega(Ju,Jv) &= \omega(u,v)\end{align}[/math]

である。

従って、（概）複素多様体 [math]M[/math] 上のエルミート構造は、

  1. 上記のエルミート計量 [math]h[/math]
  2. 概複素構造 [math]J[/math] を保つリーマン計量 [math]g[/math]
  3. [math]J[/math] を保つ非退化 2-形式 [math]\omega[/math] ですべての 0 でない実接ベクトル [math]u[/math] に対し [math]\omega(u,Ju) \gt 0[/math] の意味で正定値

のいずれかで特定することができる。

多くの著者が [math]g[/math] 自身をエルミート計量と呼んでいることに注意する。

性質

すべての（概）複素多様体にはエルミート計量が入る。このことはリーマン計量についての同様の命題から直ちに従う。概複素多様体 [math]M[/math] 上の任意のリーマン計量 [math]g[/math] が与えられると、明らかに概複素構造 [math]J[/math] と整合するような新しい計量 [math]g'[/math] を、次のように構成することができる:

[math]g'(u,v) = \frac{1}{2}\left(g(u,v) + g(Ju,Jv)\right).[/math]

概複素多様体 [math]M[/math] 上のエルミート計量を選ぶことは、[math]M[/math] 上のU(n)-構造（English版）(U(n)-structure)を選ぶことと同値である。つまり、[math]GL(n,\mathbb{C})[/math] からユニタリ群 [math]U(n)[/math] への [math]M[/math] の枠束(frame bundle)の構造群の縮小(reduction of the structure group)である。概エルミート多様体上のユニタリ枠(unitary frame)は、エルミート計量に関して正規直交系をなす複素線型枠である。M のユニタリ枠束（English版）(unitary frame bundle)は、すべてのユニタリ枠の主 U(n)-バンドルである。

すべてのエルミート多様体 [math]M[/math] は、[math]g[/math] により決定されるリーマン体積形式である標準体積形式を持つ。この形式は、随伴 (1,1)-形式 [math]\omega[/math] によって

[math]\mathrm{vol}_M = \frac{\omega^n}{n!} \in \Omega^{n,n}(M)[/math]

として与えられる。ここに [math]\omega^n[/math] は [math]\omega[/math] と自身との [math]n[/math] 重のウェッジ積である。従って、体積形式は [math]M[/math] 上の実 [math](n,n)[/math]-形式である。局所正則座標では、体積形式は

[math]\mathrm{vol}_M = \left(\frac{i}{2}\right)^n \det(h_{\alpha\bar\beta})\, dz^1\wedge d\bar z^1\wedge \cdots \wedge dz^n\wedge d\bar z^n[/math]

により与えられる。

エルミート計量は、正則ベクトルバンドル上でも考えることができる。

ケーラー多様体

エルミート多様体の最も重要なクラスは、ケーラー多様体である。ケーラー多様体は、エルミート形式 [math]\omega[/math] が閉形式

[math]d\omega = 0[/math]

となるエルミート多様体である。この場合、形式 [math]\omega[/math] をケーラー形式と呼ぶ。ケーラー形式はシンプレクティック形式なので、ケーラー多様体は自然にシンプレクティック多様体となる。

随伴する (1,1)-形式が閉である概エルミート多様体は、自然に概ケーラー多様体と呼ぶ。任意ののシンプレクティック多様体には、概ケーラー多様体をなすような整合的な概複素構造が入る。

可積分性

ケーラー多様体は可積分条件を満たす概エルミート多様体である。この条件はいくつかの同値な方法で述べることができる。

[math](M,g,\omega,J)[/math] を実 [math]2n[/math] 次元の概エルミート多様体とし、[math]\nabla[/math] を [math]g[/math] のレヴィ・チヴィタ接続とすると、以下は [math]M[/math] がケーラーとなる同値な条件である。

  • [math]\omega[/math] が閉で、[math]J[/math] が可積分である
  • [math]\nabla J=0[/math]
  • [math]\nabla\omega=0[/math]
  • [math]\nabla[/math] のホロノミー群（English版）(holonomy group)が [math]J[/math] に関するユニタリ群 [math]U(n)[/math] に含まれる

これらの条件の同値性は、ユニタリ群の「3 から 2(2 out of 3)」の性質に対応する。

特に、[math]M[/math] がエルミート多様体であれば、条件 [math]d\omega=0[/math] が一見、非常に強く見える条件 [math]\nabla\omega=\nabla J=0[/math] と同値である。ケーラー多様体の理論の豊かさは、これらの性質によるところもある。

参考文献

  • Griffiths, Phillip [1978] (1994). Principles of Algebraic Geometry, Wiley Classics Library. New York: Wiley-Interscience. ISBN 0-471-05059-8. 
  • Kobayashi, Shoshichi [1963] (1996). Foundations of Differential Geometry, Vol. 2, Wiley Classics Library. New York: Wiley Interscience. ISBN 0-471-15732-5. 
  • Kodaira, Kunihiko (1986). Complex Manifolds and Deformation of Complex Structures, Classics in Mathematics. New York: Springer. ISBN 3-540-22614-1. 


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