アーベル方程式

数学において、ニールス・アーベルの名にちなむアーベル方程式（アーベルほうていしき、英: Abel equation）とは、

[math]f(h(x)) = h(x + 1)\,\![/math]

あるいは

[math]\alpha(f(x))=\alpha(x)+1\![/math]

の形式で記述され、 $f$ の反復をコントロールする特殊な函数方程式のことを言う。

同値性

上述の二つの方程式は同値である。実際、 $α$ を可逆函数とすると、二番目の方程式は

[math] \alpha^{-1}(\alpha(f(x)))=\alpha^{-1}(\alpha(x)+1)\, [/math]

のように書くことが出来る。すると $x = α -1 (y)$ とすることで、この方程式は

[math]f(\alpha^{-1}(y))=\alpha^{-1}(y+1)\, [/math]

のように書くことが出来る。既知とされる函数 $f (x)$ に対して、問題は函数 $α -1$ についての函数方程式を解くこととなる。また $α -1 (0) = 1$ のような追加条件も必要となる可能性がある。

実パラメータ $s$ に対して変数変換 $s α (x) = Ψ(x)$ を行うことで、アーベル方程式は有名なシュレーダーの方程式 $Ψ(f (x)) = s Ψ(x)$ に書き換えることが出来る。

さらに変換 $F (x) = exp(s α (x))$ を施すことで、ボッチャーの方程式 $F (f (x)) = F (x) s$ が得られる。

はじめ、この方程式はより一般的な形式で記述されていた^[1] ^[2]。その方程式は、一変数の場合ですら非自明なもので、特別な解析が必要とされた^[3]^[4]。

線型変換函数の場合、解はコンパクトな形式で表現できる^[5]。

テトレーションの方程式は、 $f = exp$ であるようなアーベル方程式の特別な場合である。

整数の議論の場合、アーベル方程式は再帰的な手順を表すものである。例えば

[math]\alpha(f(f(x)))=\alpha(x)+2 ~ [/math]

や

[math]\alpha(f_n(x))=\alpha(x)+n ~[/math]

などのようになる。

ファトウ座標は、放物型不動点の近くでの離散力学系の局所的な挙動を記述する、アーベル方程式の解を表すものである^[6]。